Métodos para resolver$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x^2 + 1}\:dx$

Question

Tengo un sentir esta será una copia de la pregunta. He echado un vistazo a su alrededor y no podía encontrarlo, así que por favor avisar si es así.

Aquí os deseo a la dirección de la integral definida:

\begin{equation} I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x^2 + 1}\:dx \end{equation}

Yo lo he solucionado usando su Truco, sin embargo creo que es limitado y estoy esperando encontrar otros métodos para resolver. Sin el uso de Residuos, ¿cuáles son algunos otros enfoques para esta integral?

Mi método:

\begin{equation} I(t) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-tx^2}}{x^2 + 1}\:dx \end{equation}

Aquí $I = I(1)$ e $I(0) = \frac{\pi}{2}$. Tomar la derivada bajo la curva con respecto a '$t$' para lograr:

\begin{align} I'(t) &= \int_{0}^{\infty} \frac{-x^2e^{-tx^2}}{x^2 + 1}\:dx = -\int_{0}^{\infty} \frac{x^2e^{-tx^2}}{x^2 + 1}\:dx \\ &= -\left[\int_{0}^{\infty} \frac{\left(x^2 + 1 - 1\right)e^{-tx^2}}{x^2 + 1}\:dx \right] \\ &= -\int_{0}^{\infty} e^{-tx^2}\:dx + \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-tx^2}}{x^2 + 1}\:dx \\ &= -\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1}{\sqrt{t}} + I(t) \end{align}

Y así llegamos a la ecuación diferencial:

\begin{equation} I'(t) - I(t) = -\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1}{\sqrt{t}} \end{equation}

Que los rendimientos de la solución:

\begin{equation} I(t) = \frac{\pi}{2}e^t\operatorname{erfc}\left(t\right) \end{equation}

Por lo tanto,

\begin{equation} I = I(1) \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x^2 + 1}\:dx = \frac{\pi}{2}e\operatorname{erfc}(1) \end{equation}

Addendum:

Utilizando el método exacto que yo he empleado, usted puede extender la integral anterior en más genealised forma:

\begin{equation} I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-kx^2}}{x^2 + 1}\:dx = \frac{\pi}{2}e^k\operatorname{erfc}(\sqrt{k}) \end{equation}

Anexo 2: Mientras estamos en el genealising: \begin{equation} I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-kx^2}}{ax^2 + b}\:dx = \frac{\pi}{2b}e^\Phi\operatorname{erfc}(\sqrt{\Phi}) \end{equation}

Donde $\Phi = \frac{kb}{a}$ e $a,b,k \in \mathbb{R}^{+}$

Answer 1

Usted puede utilizar el teorema de Plancherel. Tenga en cuenta que $$ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{x^2 + 1}dx. $$Let $f(x) = e^{-x^2}$ and $g(x) = \frac{1}{1+x^2}$. Entonces tenemos $$ \widehat{f}(\xi) = \sqrt{\pi}e^{-\pi^2\xi^2}, $$y $$ \widehat{g}(\xi) = \pi e^{-2\pi|\xi|}. $$ Por el teorema de Plancherel, tenemos $$\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)dx&=&\int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\xi)\widehat{g}(\xi)d\xi\\&=&\pi^{\frac{3}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi^2\xi^2-2\pi|\xi|}d\xi\\ &=&2\pi^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi^2\xi^2-2\pi\xi}d\xi\\ &=&2\pi^{\frac{3}{2}}e\int_{\frac{1}{\pi}}^{\infty}e^{-\pi^2\xi^2}d\xi\\ &=&2\pi^{\frac{1}{2}}e\int_{1}^{\infty}e^{-\xi^2}d\xi = \pi e \operatorname{erfc}(1). \end{eqnarray}$$ Esto le da a $I = \frac{\pi}{2}e \operatorname{erfc}(1).$

Answer 2

Aquí es un método que emplea el viejo truco de convertir la integral en una integral doble.

Observar que $$\frac{1}{1 + x^2} = \int_0^\infty e^{-u(1 + x^2)} \, du.$$ Así que su integral puede escribirse como $$I = \int_0^\infty e^{-x^2} \int_0^\infty e^{-u(1 + x^2)} \, du \, dx.$$ o $$I = \int_0^\infty e^{-u} \int_0^\infty e^{-(1 + u)x^2} \, dx \, du,$$ sobre el cambio del orden de integración.

El cumplimiento de una sustitución de $x \mapsto x/\sqrt{1 + u}$da $$I = \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{\sqrt{1 + u}} \int_0^\infty e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{\sqrt{1 + u}} \, du.$$

El próximo exforcing una sustitución de $u \mapsto u^2 - 1$da $$I = \sqrt{\pi} e \int_1^\infty e^{-u^2} \, du = \sqrt{\pi} e \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf} (1) = \frac{\pi e}{2} \text{erf} (1),$$ como era de esperar.