Me dan$$\log_{12}54=a$ $ Entonces, ¿cuál será el valor de$ \log_{6}12?$? Usé el teorema de cambio de base y escribí la expresión como$$\frac{\log_{6}54}{ \log_{6}12} =a$ $ Y luego$$ \frac{1+\log_{6}9}{ a} = \log_{6}12$ $ ¿ahora qué hacer?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Observa primero que$$\begin{align}a&=\log_{12}(54)=\log_{12}(2)+3\log_{12}(3)\\&=\frac{1}{\log_2(12)}+\frac{3}{\log_3(12)}=\frac{1}{2+\log_2(3)}+\frac{3}{1+\frac{2}{\log_2(3)}}\end{align}$ $
A partir de esto, podemos calcular$\log_2(3)$ en términos de$a$. Solo necesitamos resolver para$x$ en la ecuación$$a=\frac{1}{2+x}+\frac{3}{1+\frac{2}{x}}$ $
Entonces podemos usar este valor para calcular:
PS
La ecuación anterior es$$\log_6(12)=2\log_6(2)+\log_6(3)=\frac{2}{\log_2(6)}+\frac{1}{\log_3(6)}=\frac{2}{1+\log_2(3)}+\frac{1}{1+\frac{1}{\log_2(3)}}$ $ de donde$$a=\frac{1+3x}{x+2}$ $
Por lo tanto$$x=\frac{2a-1}{3-a}$ $
Phonics The Hedgehog
Puntos
111
$\bf hint:$ descompone los números$54 = 2*3^3, 12 = 2^2*3, 6 =2*3$ al usar el cambio de fórmula base$\log_a(b) = \dfrac{\ln b}{\ln a}.$ para obtener$$a = \dfrac{\ln 2 + 3 \ln 3}{2\ln 2 + \ln 3}, b = \dfrac{2\ln 2 + \ln 3}{\ln 2 + \ln 3} $ $
observe que tanto$a$ como$b$ dependen solo de la relación$\dfrac{\ln 2}{\ln 3}.$, eliminando la relación debería darle una relación entre$a$ y$b.$
