Los operadores de Toeplitz son muy útiles para demostrar el índice de teoremas en el marco de la geometría no conmutativa. Veamos un ejemplo.
Identificar las $ \mathbb{S}^{1} $$ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, y deje $ {L^{2}}(\mathbb{S}^{1}) $ denotar el espacio de Hilbert de cuadrado integrable funciones en $ \mathbb{S}^{1} $. Considerar la base ortonormales $ \left\{ e^{i(2n \pi \bullet)} ~ \Big| ~ n \in \mathbb{Z} \right\} $$ {L^{2}}(\mathbb{S}^{1}) $, que se compone de funciones propias del operador diferencial $ D \stackrel{\text{def}}{=} \dfrac{1}{i} \dfrac{d}{dx} $$ \mathbb{S}^{1} $. Deje $ \mathcal{H} $ ser el subespacio cerrado de $ {L^{2}}(\mathbb{S}^{1}) $ que es generado por las funciones propias de $ D $ correspondiente a los no-negativo autovalores. El espacio de $ \mathcal{H} $ es llamado el espacio de Hardy de $ \mathbb{S}^{1} $. Deje $ P $ denotar la proyección ortogonal de a $ {L^{2}}(\mathbb{S}^{1}) $ a $ \mathcal{H} $.
Para cada función continua $ f: \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{C} $, definir el operador de Toeplitz con el símbolo $ f $, que se denota por a $ T_{f} $, para la compresión de $ P M_{f} P $ del operador de pointwise multiplicación por $ f $. Si $ f $ $ g $ son funciones continuas en $ \mathbb{S}^{1} $, entonces es un hecho básico de que $ T_{f} T_{g} - T_{fg} $ es un operador compacto en $ \mathcal{H} $. Ahora sigue a partir del Teorema de Atkinson que si $ f $ desaparece en la nada (por lo $ \dfrac{1}{f} $ está bien definido), a continuación, $ T_{f} $ es un operador de Fredholm. Esto implica que el índice de Fredholm $ \text{Index}(T_{f}) $ está bien definido.
La discusión anterior sirve como una preparación para la siguiente teorema, el cual puede ser visto como el caso más simple de la Atiyah-Singer Índice Teorema aplicado a impar-dimensiones de los colectores.
Bebé Índice Teorema Deje $ f: \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} $ ser una función continua. Entonces
$$
- \text{Index}(T_{f}) = \deg(f),
$$
donde $ \deg(f) $ denota el grado de $ f $.
En este teorema, como en el de Atiyah-Singer Índice Teorema, podemos ver una relación entre dos tipos de invariantes: una analítica invariante y topológico. El índice de Fredholm $ \text{Index}(T_{f}) $ es una analítica invariantes que se construye a partir de un operador diferencial, y $ \deg(f) $ es claramente un invariante topológico. Los invariantes son herramientas muy útiles en la topología y la geometría, y aquí vemos que los operadores de Toeplitz nos ofrecen un camino para la construcción analítica de los invariantes.
El desarrollo de la Atiyah-Singer Índice Teorema desde el punto de vista de la geometría no conmutativa es posible por el estudio de los operadores de Toeplitz. Por ejemplo, en la geometría no conmutativa, uno es por lo general interesado en el desarrollo de la geometría diferencial en el espacio de la hoja de un foliada colector $ (M,\mathcal{F}) $; uno puede formular la foliación índice de teoremas para los operadores diferenciales en un foliada colector con la ayuda de los operadores de Toeplitz. No es un resultado importante, por Douglas, Hurder y Kaminker, que utiliza los operadores de Toeplitz para formular un índice teorema para el colector $ (\mathbb{R} \times (\mathbb{R}/\mathbb{Z}))/\mathbb{Z} $ con el de Kronecker de la foliación. Los detalles son bastante abrumador, así que tendré que conformarme con la prestación de un par de referencias a continuación.
Referencias
Connes, A. No conmutativa la Geometría Diferencial, Partes I y II, IHÉS Publ. Math., 62 (1985), pp 257-360.
Douglas, R. G; Hurder, S; Kaminker, J. Longitudinal Cocycle y el Índice de Operadores de Toeplitz, Revista de Análisis Funcional, 101 (1991), pp las 120-144.
