¿Por qué la integral de$\frac1{x^2}$ de$1$ a$\infty$ no es igual a la suma infinita de$1$ a$\infty$?

Question

El estudio de serie que estoy un poco confundido en este punto. La infinita suma de $1/x^2$ $1$ $\infty$fue demostrado por Euler para ser $\pi^2$ dividido por $6$:

$$\sum_{x=1}^\infty\frac 1 {x^2}=\frac {\pi^2} 6$$

Pero si puedo integrar de $1$ $\infty$de la misma entidad, es decir,$1/x^2$$1$. Correcto..? A menos que lo hice mal. $$\int_1^\infty\frac 1 {x^2}dx=1$$ ¿Cómo puede ser esto, pues al integrar parece que estamos añadiendo un montón más números para cubrir la misma área, por lo tanto debemos por todos los medios conseguir la misma cosa o algo al menos tan grande como $\pi^2/6$?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\leq\sum_1^\infty \frac{1}{n^2}\etiqueta{1} $$ considerando una suma de Riemann con la izquierda extremos. Aquí está una foto (para el caso de $1/x$, pero con un panorama similar se pueden extraer de este caso así). Ver esta imagen. Créditos de la imagen ir a la Wikipedia.

Answer 2

Al hacer la suma, a una especie de aproximar el área de rectángulos de base de longitud igual a $1$. Dibuje la función de $1/x^2$ y dibujar los rectángulos con la longitud de la base 1; verás que el área debajo de los rectángulos es mucho más grande que el área bajo la función de $1/x^2$

Aquí está una ilustración para la función de $1/x$, pero es esencialmente el mismo que en el $1/x^2$ de los casos. (Gracias a @FoobazJohn) La integral añade un montón más números, pero estos números se multiplican por algo muy pequeño. El resultado final es que la integral representa el área bajo la $1/x^2$ curva, que es menor que el área bajo la rectángulos.

Answer 3

Comparemos$1$ y$\int_1^2\frac1{x^2}\,\mathrm dx$. Ya que $\bigl(\forall x\in(1,2]\bigr):\frac1{x^2}<1$, $\int_1^2\frac1{x^2}\,\mathrm dx<1$. Por el mismo motivo,$\int_2^3\frac1{x^2}\,\mathrm dx<\frac14$,$\int_3^4\frac1{x^2}\,\mathrm dx<\frac19$, y así sucesivamente. Entonces$$1=\int_1^\infty\frac1{x^2}\,\mathrm dx<\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$ $

Tenga en cuenta que no es cierto que$\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$ es la suma de todos los números$f(x)$ #% con% #%. En cambio, es el valor promedio de$x\in[a,b]$ en$f$ veces$[a,b]$.