En el axioma de equivalencia débil para espacios no-CW

Question

Un cohomology teoría de la $h^*$ satisface la débil axioma de equivalencia (wea) si para cada débiles homotopy equivalencia $f : X \to Y$ hay una (degreewise) isomorfismo $h^*(Y)\to h^*(X)$ inducida por $f$.

Hay un ejercicio en Strom del libro que pide demostrar que la ordinaria, representada reducido cohomology $X\mapsto [X, K(G,n)]$ no cumple con la wea.

El contraejemplo es la siguiente:

Deje $\mathbb N$ ser el conjunto discreto $\{0,1,2,...\}$ $L$ el conjunto $\{0\}\cup \{1/n\mid n\ge 1\}\subset \mathbb R$ con la topología de subespacio. A continuación, hay un mapa de $\mathbb N\to L$ que es un débil homotopy de equivalencia, pero no induce isomorphisms en la reducción de cohomology.

Mi intento de una prueba de la siguiente manera: quiero a punto todos los yoes de este ejercicio.

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Cualquier mapa de $\mathbb N\to L$ será continua, debido a que $\mathbb N$ es discreto; creo $\varphi : 0\mapsto 0, n\mapsto 1/n$ hace el trabajo; para ver esto vamos a notar que

1. El componente conectado de $0$ $L$ es el singleton $\{0\}$.

Prueba. Fácil: los componentes conectados forman una partición de un espacio, y en cada punto de $1/n$ tiene el singleton $\{1/n\}$ conectado auto-componente. $\square$

2. Deje $X$ estar conectado; luego $$[X,L]\cong \hom(X,L)\cong L$$ en el sentido de que los dos mapas son homotópica iff son iguales, y sólo hay constante mapas.

Prueba. Si $f : X\to L$ no suponga que el valor de $0$, entonces los factores a través de una discreta subespacio de $L$, y el resultado de la siguiente manera; si no es $x_0$ tal que $f(x_0)=0$, $f(X)$ debe estar conectado y contener $0$, por lo que debe ser $\{0\}$. Tan sólo hay constante maps: ahora si $f,g$ son homotópica a través de$H : X\times [0,1]\to L$, $f=g$ porque $X\times [0,1]$ está conectado y, a continuación, $H$ debe ser constante. $\square$

Corolario de 1+2 es que cada mapa $[S^n,\mathbb N]\to [S^n,L]$ es el cero mapa entre homotopy grupos, y un bijection en $\pi_0$'s, así que la primera parte de la demanda está probado.

Ahora,

el mapa inducida en $H^0$'s no es un isomorfismo de abelian grupos.

Prueba. Deje $f$ ser un mapa continuo $L\to K(G,0)$. A continuación,$f(0)=\lim_{n\to \infty} f(1/n)$, por lo que el $f$ debe ser eventualmente constante (su codominio es $G^\delta$, $G$ con la topología discreta). Por otro lado, $[\mathbb N, G^\delta]$ es una contables producto de copias de $G$, así que (por ejemplo) el salto de secuencia $(0,g,0,g...)$ $g\neq 0$ no reside en la imagen de $\varphi^*$. $\square$

Como en todo cuento de hadas tiene una moraleja en esta historia:

1. Este lío sucede porque $L$ no es un CW complejo (CW tienen la topología discreta en 0-skeleta, sino $0\in L$ es un punto límite).
2. De hecho, si los espacios son de CW, entonces esta patología desaparece: cohomology detecta $n$-homotopy equivalencias para simplemente espacios conectados.

Ahora mi pregunta(s):

0. Una pregunta sobre las definiciones. $L$ no es un CW. Pero tiene la débil homotopy tipo de un CW complejo; hace $L$ "agradable" en algún sentido?

1. Un metamathematical pregunta. ¿Hay algo más que aprender de este contraejemplo? Quién es el más sabio entre homotopy grupos y la reducción de cohomology, o en otras palabras: se $\pi_n$'s incapaz de ver algo de la información que en lugar de $\tilde{H}^n$ lo hace ver, y que debo tomar cuidado de, o más bien $\tilde{H}^n$'s son demasiado exigente?

2. Una cuestión más concreta. Hay cohomology grupos de $\mathbb N$ $L$ diferente en grados superiores? Mejor dicho: ¿cómo (des)demostrar que $H^n(L,G)$ es cero para $n\ge 1$? De nuevo, lo que me preocupa es que el $L$ no es un CW complejo, pero tiene el débil homotopy tipo de un CW complejo.

Cuando vi por primera vez este ejercicio me sorprendió: apuesto a que la cadena de mapa de la singular complejos de $C^*(\mathbb N, G)$ $C^*(L, G)$ es un cuasi-isomorfismo. Así que por eso quiero ser tan exigente: quiero ver si esta conjetura es falsa, o si todo lo que importa para construir este contraejemplo vive en grado cero.

Answer 1

0. Una pregunta sobre las definiciones. $L$ no es un CW. Pero tiene la débil homotopy tipo de un CW complejo; hace $L$ "agradable" en algún sentido?

No: cada espacio tiene el débil homotopy tipo de un CW complejo. No sé Strom del libro, pero usted probablemente puede encontrar este resultado en algún lugar en ella. En Hatcher Topología Algebraica, que es la Proposición 4.13

1. Un metamathematical pregunta. ¿Hay algo más que aprender de este contraejemplo? Quién es el más sabio entre homotopy grupos y la reducción de cohomology, o en otras palabras: se $\pi_n$'s incapaz de ver algo de la información que en lugar de $\tilde{H}^n$ lo hace ver, y que debo tomar cuidado de, o más bien $\tilde{H}^n$'s son demasiado exigente?

Para la mayoría de propósitos, $\tilde{H}^n$ es demasiado exigente, y la manera "correcta" para definir la cohomology de un espacio como $L$ es como el cohomology de un débil equivalente CW complejo (o, simplemente, utilizar un cohomology teoría como singular cohomology que satisface wea). La gran mayoría de homotopy teoría se ocupa principalmente de los espacios hasta débil homotopy de equivalencia, no homotopy de equivalencia (por ejemplo, si usted habla de "la homotopy categoría de espacios" que carece de cualquier contexto adicional, un topologist asumirá que usted está hablando acerca de la categoría que recibe de $Top$ invirtiendo débil homotopy equivalencias, o, equivalentemente, la categoría de CW complejos y homotopy clases de mapas). Si por alguna razón usted no desea espacios de estudio que no son homotopy equivalente a CW complejos en un nivel más fino, generalmente el "derecho" cohomology de la teoría a utilizar es algo así como Cech cohomology, no representable cohomology.

2. Una cuestión más concreta. Hay cohomology grupos de $\mathbb N$ $L$ diferente en grados superiores? Mejor dicho: ¿cómo (des)demostrar que $H^n(L,G)$ es cero para $n\ge 1$? De nuevo, lo que me preocupa es que el $L$ no es un CW complejo, pero tiene el débil homotopy tipo de un CW complejo.

Si $X$ es cualquier trayectoria-conectado señaló espacio cuyo punto de base $p$ tiene un vecindario $U$ que es fuertemente contráctiles a $p$, entonces cada señaló mapa de $f:L\to X$ es nullhomotopic. En particular, esto es cierto si $X$ está conectado CW complejo como $K(G,n)$$n>0$. (Supongo que te refieres a que tome $0$ como el punto de referencia $L$; si usted escoge un diferente punto de base, luego que en lugar se necesita un contráctiles barrio de $f(0)$.)

De hecho, para la construcción de un nullhomotopy de $f$, sólo tiene que utilizar la contracción de $U$ $p$todos los $x\in L$ tal que $f(x)\in U$, y de selección arbitraria en el camino de $p$ $x\in L$ tal que $f(x)\not\in U$. Este será continuo desde $U$ es un barrio de $p$ $f(1/n)\in U$ para todos lo suficientemente grande $n$.

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Aquí es un proceso más complejo, resultado que es a la vez más y menos general. Si $X$ es cualquier trayectoria-conectado señaló espacio cuyo punto de base $p$ tiene una contables barrio de la base de trayectoria-conectado conjuntos de $(U_m)$, entonces cualquier señaló mapa de $L\to X$ es nullhomotopic. (De nuevo, supongo que $0$ es el punto de referencia $L$, pero hay un resultado similar si usted tiene un diferente punto de base. Tenga en cuenta que estas hipótesis son verdaderas de cualquier conectados finito CW complejo de $X$, y la conclusión a la que sigue conectado CW complejo de $X$ desde $L$ es compacto por lo que la imagen de cualquier $L\to X$ está contenida en un conectada finito subcomplejo.)

Para probar esto, deje $f:L\to X$ ser una punta del mapa. Podemos asumir nuestra de barrio base $U_m$ está anidado y $U_0=X$. Para cada una de las $n\geq 1$, vamos a $m(n)$ ser el mayor $m$ tal que $f(1/n)\in U_m$ o $m(n)=n$ si $f(1/n)\in U_m$ todos los $m$. Tenga en cuenta que desde $U_m$ es un barrio de $p=f(0)$, $f(1/n)\in U_m$ para todos lo suficientemente grande $n$, lo $m(n)\to\infty$$n\to\infty$.

Ahora podemos definir nuestro homotopy $H:L\times I\to X$. Para cada una de las $n$, podemos elegir algún camino de $\gamma_n$$f(1/n)$$p$$U_{m(n)}$. A continuación definimos $H(1/n,t)=f(1/n)$ $0\leq t\leq 1-2^{-m(n)}$, $H(1/n,t)=p$ para $1-2^{-m(n)-1}\leq t\leq 1$, y para $1-2^{-m(n)}\leq t\leq 1-2^{-m(n)-1}$ dejamos $H(1/n,t)$ siga el camino de $\gamma_n$. También definimos $H(0,t)=p$ todos los $t$.

Claramente, siempre y cuando esta $H$ es continua, se da un punto de base-la preservación de homotopy de $f$ a la constante mapa. La continuidad de la $H$ en cualquier punto de $(1/n,t)$ es obvia, y la continuidad en $(0,t)$ $t< 1$ se deduce del hecho de $s$ cerca $t$, $H(1/n,s)=f(1/n)$ para todos lo suficientemente grande $n$. Finalmente, para la continuidad en $(0,1)$, puesto que el $U_m$ es un barrio de la base de a $p$, es suficiente para mostrar que $H^{-1}(U_m)$ contiene un barrio de $(0,1)$ todos los $m$. Pero esto es claro, ya que si $n$ es lo suficientemente grande tal que $m(n)\geq m$, $H(1/n,t)\in U_{m(n)}\subseteq U_m$ todos los $t$.