Raíces Extranías

Question

Cuando se trata de raíces extranjeras y se comprueban, si descubres que una de ellas, digamos, dos raíces, es extranjera, ¿implica esto que la otra raíz es real o habría que comprobar también la otra raíz... por lo tanto, posiblemente no tiene raíces?

Estoy bastante seguro de que si una raíz es extranjera, eso implica que la otra raíz es real, solo pensando lógicamente, pero no recuerdo nunca que me hayan dicho esto y no puedo encontrar verificación en ningún otro lugar.

Answer 1

Hay (por lo menos) dos maneras de interpretar las "raíces extranjeras".

Una es que las raíces se relacionan con un contexto físico. En ese escenario, no es necesariamente el caso que haya alguna raíz "real" en absoluto, real aquí se refiere no a si es un número complejo (involucrando $i$, la raíz cuadrada de $-1$), sino si encaja en el contexto físico. A menudo, es simplemente negativo, y debido a que la variable está modelando un número no negativo (por ejemplo, el número de libros en una pila), la raíz se considera extranjera.

Si, por ejemplo, una ecuación cuadrática tiene dos raíces, y ninguna de ellas encaja en el contexto físico, entonces ambas son extranjeras, y no hay soluciones "reales" en absoluto. Eso simplemente significa que las restricciones del problema no pueden cumplirse.

Otra manera de interpretar las "raíces extranjeras" se refiere específicamente a raíces desarrolladas debido a una transformación no invertible de alguna ecuación original. (Elevar al cuadrado es el ejemplo más común de esta transformación, como tú señalas). En qué circunstancias esto sucede y cuáles son sus implicaciones es un conjunto diferente de preguntas.

No se garantiza que haya una raíz no extranjera, sin embargo. Considera lo que sucede cuando se eleva al cuadrado ambos lados de

$$ -|x| = \sqrt{2x^2-1} $$

Uno obtiene

$$ x^2 = 2x^2-1 $$

o

$$ x^2-1 = 0 $$

que claramente tiene las raíces $x = \pm 1$, pero ninguna de esas es una raíz de la ecuación original.

Answer 2

Las raíces extranjeras ocurren cuando aplicas una función a ambos lados de una ecuación que no es 1-1. Aquí tienes un ejemplo muy trivial. Considera la ecuación $$x = 1.$$ Eleva ambos lados al cuadrado y obtenemos $$x^2 = 1,$$ lo cual da como soluciones $x = \pm 1$. La segunda raíz, extranjera, se produjo porque elevar al cuadrado destruye información sobre el signo de un número real.

Answer 3

Supongamos que la ecuación a resolver es $$x^2=-1$$ y elevas ambos lados al cuadrado: $$x^4 = 1$$ Ahora la ecuación resultante tiene dos raíces reales, $x=-1$ y $x=1`, ninguna de las cuales es raíz de la primera ecuación.

Así que la respuesta es: SÍ, por supuesto que debes revisar TODAS las raíces para validarlas (a menos que procedas con cuidado, de modo que puedas demostrar que ningún paso de tu solución introduce raíces extranjeras, en cuyo caso simplemente no habrá raíces extras).

Answer 4

Intenta esto \begin{align} |x| &= -2 \\ \sqrt{x^2} &= -2 \\ x^2 &= 4 \\ x &\in \{-2, 2\} \end{align}

Ambas raíces son claramente extranjeras.

En este caso, es obvio que no hay solución. Sin embargo, es posible crear ecuaciones sin raíces donde ese hecho no es inmediatamente obvio.