Raíces extrañas

Question

Cuando se trata de raíces extrañas y se comprueban, si se descubre que una de las dos raíces, digamos, es extraña, ¿implica esto que la otra raíz es real o habría que comprobar también la otra raíz... de modo que potencialmente no tenga raíces?

Estoy bastante seguro de que el hecho de que una raíz sea extraña implicaría que la otra raíz es real con sólo pensarlo lógicamente, pero no recuerdo que me lo hayan dicho nunca y no puedo encontrar la verificación en ningún otro sitio.

Answer 1

Hay (al menos) dos formas de interpretar las "raíces extrañas".

Una es que las raíces se relacionan con un contexto físico. En tal escenario, no es necesariamente el caso de que haya raíces "reales" en absoluto -real aquí no se refiere a si es o no un número complejo (que implica $i$ la raíz cuadrada de $-1$ ), sino si se ajusta al contexto físico. A menudo, es meramente negativo, y como la variable está modelando un número no negativo (por ejemplo, el número de libros de una pila), la raíz se considera extraña.

Si, por ejemplo, una ecuación cuadrática tiene dos raíces, y ni de ellas encaja en el contexto físico, entonces ambas son extrañas, y no hay soluciones "reales" en absoluto. Eso sólo significa que no se pueden satisfacer las restricciones del problema.

Otra forma de interpretar las "raíces extrañas" se refiere específicamente a las raíces desarrolladas debido a una transformación no invertible de alguna ecuación original. (La cuadratura es el ejemplo más común de esta transformación, como usted señala). En qué circunstancias ocurre esto y cuáles son sus implicaciones es un conjunto diferente de preguntas.

Sin embargo, sigue sin estar garantizado que haya una raíz no extraña. Consideremos lo que ocurre cuando elevamos al cuadrado ambos lados de

$$ -|x| = \sqrt{2x^2-1} $$

Se obtiene

$$ x^2 = 2x^2-1 $$

o

$$ x^2-1 = 0 $$

que claramente tiene las raíces $x = \pm 1$ pero ninguna de ellas es una raíz de la ecuación original.

Answer 2

Las raíces extrañas se producen cuando se aplica una función a ambos lados de una ecuación que no es 1-1. He aquí un ejemplo muy trivial. Consideremos la ecuación $$x = 1.$$ Eleva al cuadrado ambos lados y obtendremos $$x^2 = 1,$$ que da soluciones $x = \pm 1$ . La segunda raíz, extraña, se produjo porque al elevar al cuadrado se destruye la información sobre el signo de un número real.

Answer 3

Supongamos que la ecuación a resolver es $$x^2=-1$$ y cuadras ambos lados: $$x^4 = 1$$ Ahora la ecuación resultante tiene dos raíces reales, $x=-1$ y $x=1$ , ninguno de los cuales es una raíz de la primera ecuación.

Así que la respuesta es: SÍ, por supuesto que debes comprobar la validez de TODAS las raíces (a menos que procedas con cuidado, de modo que puedas demostrar que ningún paso de tu solución introduce raíces extrañas, en cuyo caso simplemente no habrá raíces extra).

Answer 4

Prueba esto \begin{align} |x| &= -2 \\ \sqrt{x^2} &= -2 \\ x^2 &= 4 \\ x &\in \{-2, 2\} \end{align}

Ambas raíces son claramente extrañas.

En este caso, es obvio que no hay solución. Sin embargo, es posible crear ecuaciones sin raíz en las que ese hecho no sea inmediatamente obvio.