El grupo de raíces de la unidad en un campo numérico algebraico.

Question

Es el siguiente proposición es verdadera? Si sí, ¿cómo podría usted probar esto?

La proposición Deje $K$ ser una expresión algebraica campo de número. El grupo de raíces de la unidad en la $K$ es finito. En otras palabras, la torsión de los subgrupos de $K^*$ es finito.

La motivación Deje $A$ ser el anillo de enteros algebraicos en $K$. Una raíz de la unidad en la $K$ es una unidad(es decir, un elemento invertible de $A$). Es importante para determinar la estructura del grupo de unidades en $K$ a investigar las propiedades aritméticas de $K$.

Comentario Tal vez, el hecho siguiente puede ser utilizado en la prueba. Cada conjugado de una raíz de la unidad en la $K$ tiene valor absoluto 1,

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Es un entero algebraico en la que todos los conjugados tienen valor absoluto 1 una raíz de la unidad?

Editar(Ene. 18, 2013) Para el downvoters, ¿por qué no restablecer sus votos? La pregunta es claramente importante en la teoría algebraica de números. Digo esto no porque me importa mi reps, pero debido a los votos negativos están enviando señales equivocadas a los usuarios.

Answer 1

El grado de$e^{2\pi i/n}$ va al infinito con$n$. Si$K$ tuviera una infinidad de raíces de unidad, tendría elementos de grado arbitrariamente alto y, por lo tanto, no sería de grado finito sobre los racionales y, por lo tanto, no sería un campo numérico algebraico.

Answer 2

Esto haría estallar fuera de la unidad de teorema, ya que parte de que es el teorema de que el grupo de la unidad de $\mathcal O_K$ es finitely generado. Usted probablemente no necesite toda la prueba, pero me gustaría dejar de lado el tiempo para comprobar que.

Alternativamente, supongamos que $K$ contiene una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad, y deje $p^r$ ser un término en la factorización prima de $n$. Entonces \[ \varphi(p^r) = p^{i - 1}(p - 1) \leq \varphi(n) \leq [K : \mathbb P] \] da a los límites de ambos $p$ $r$ que solo depende de los $[K : \mathbb Q]$. Por lo $n$ provenía de una lista finita de números, y hemos terminado.