Encontrar fórmulas proposicionales $\phi$ y $\psi$ tal que $(\phi \rightarrow (\psi \rightarrow (¬\psi)))$ es un teorema de L.

Question

Encontrar fórmulas proposicionales $\phi$ y $\psi$ tal que $(\phi \rightarrow (\psi \rightarrow (¬\psi)))$ es un teorema de L.

Así que cada axioma es un teorema de L por lo que pensé que habría alguna forma de escribir $(\phi \rightarrow (\psi \rightarrow (¬\psi)))$ en términos de algunas variables $p_1, p_\ldots$ para que sea uno de los axiomas;

(A1) $(\phi \rightarrow ( \psi \rightarrow \phi))$

(A2) $((\phi \rightarrow (\psi \rightarrow \chi))\rightarrow((\phi \rightarrow \psi)\rightarrow(\psi \rightarrow \chi)))$

(A3) $(((¬\phi) \rightarrow (¬\psi)) \rightarrow (\psi \rightarrow \phi))$

Pero no estoy seguro de cómo hacerlo o si es siquiera el enfoque correcto. Gracias

Al intentar utilizar el A3 he conseguido $((p_1 \rightarrow (p_2 \rightarrow p_3)) \rightarrow ((p_1 \rightarrow p_2) \rightarrow (p_1 \rightarrow p_3)))$ pero supongo que eso es totalmente erróneo.

Answer 1

Mirando el primer axioma, basta con exigir que $\phi=\left(\neg \psi\right)$ Así pues, dejemos que $\phi=(\neg p)$ y $\psi =p$ .

Answer 2

Los axiomas se frmulan con cartas esquemáticas . En :

(A1) $(A→(B→A))$

$A$ y $B$ son variables en el lenguaje metálico que se quedan para las fórmulas; podemos sustituirlas por fórmulas cualquiera y obtendremos siempre una instancia del axioma.

Así, si $\varphi$ y $\psi$ son fórmulas, como sugiere Git Gud, los siguientes son ambos casos de (A1) :

$\vdash (\varphi → (\psi → \varphi))$

y

$\vdash (\lnot \psi →(\psi → \lnot \psi))$ .

El primero se ha obtenido con el subst de la fórmula $\varphi$ en lugar del carta esquemática $A$ y con $\psi$ en lugar de $B$ .

El segundo con el subst de la fórmula $\lnot \psi$ en lugar del carta esquemática $A$ y con $\psi$ en lugar de $B$ .

El único cuidado que debemos tener es que la sustitución debe ser uniforme (según el comentario de Hunan Rostomyan), es decir, debemos sustituir cada ocurrencia de, digamos, $A$ con el mismo fórmula.

Answer 3

La pregunta es interesante y creo que hay tres opciones:

• $ \phi \equiv (\psi \rightarrow (¬\psi) $ (por ejemplo, si $ \phi $ es $ \psi \rightarrow \lnot \psi)$ pero la simple igualdad es suficiente.

• $ \lnot \phi $ es un teorema , entonces se obtiene antecedente imposible .

• $ \psi \rightarrow \lnot\psi $ es un teorema, ¿cuál será el caso si $\lnot\psi $ es un teorema , entonces se obtiene verdadero concepto .

Cada una de estas tres representa, por supuesto, un número infinito de fórmulas, así que elige.

Answer 4

¿Qué es "(ϕ→(ψ→(¬ψ))"? Es un condicional.

¿Qué sabemos de todos los condicionales? Tienen un antecedente y un consecuente.

¿Cuál es el antecedente de (ϕ→(ψ→(¬ψ)), y cuál es su consecuente? El antecedente es ϕ y el consecuente es (ψ→(¬ψ).

Entonces, ¿cómo podríamos convertir (ϕ→(ψ→(¬ψ)) en un teorema? Bueno, todas las tautologías son teoremas por el teorema de completitud. Entonces, ¿cómo podríamos convertir (ϕ→(ψ→(¬ψ)) en una tautología?

Bien, supongamos que sustituimos ϕ por (ψ→(¬ψ)). Tendríamos entonces la fórmula bien formada [(ψ→(¬ψ))→(ψ→(¬ψ))]. Así, podríamos sustituir ϕ por (p→(¬p)) y ψ por p para obtener una fórmula que es un teorema de L.