Dejemos que $R$ sea un anillo (no necesariamente conmutativo) con unidad. Sea $I\subset R$ ser un ideal que a su vez es un anillo con unidad. ¿Hay algún teorema que diga algo así como $I$ semisimple y y $R/I$ semisimple implica $R$ ¿simple?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $a$ sea la unidad del ideal de dos caras $I$ . Entonces el mapa $R\rightarrow R$ , $x\rightarrow ax$ es un mapa anular, ya que $ax\cdot ay=axy$ ( $a$ es la unidad de $I$ ). La imagen del mapa es $I$ . Sea el núcleo $J$ . Además $a$ es un idempotente, por lo tanto $I\cap J=0$ . Así, $R=I\oplus J$ .
Si $A$ y $B$ son anillos semi-simples, también lo es $A\oplus B$ .
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Aquí hay otra prueba:
Dejemos que $a$ sea la unidad del ideal de dos caras $I\subset R$ . Si probamos, que $a$ es central en $R$ es comúnmente conocido que $R=Ra\oplus R(1-a)$ , donde $I = Ra$ y $R(1-a)$ es isomorfo a $R/I$ por teoremas de isomorfismo.
Pero es muy sencillo, que $a$ es fundamental en $R$ , ya que dejemos $x\in R$ entonces $$ ax = axa = xa $$ porque $ax$ y $xa$ son ambos en $I$ y $a$ es la unidad en $I$ .
