Revestimientos de heine-borel.

Question

Aquí es un extracto de https://math.uc.edu/~halpern/calc.1/Ho/Heineborelthm.pdf

Algunas palabras y frases fueron cortadas y modificado para evitar la palabrería

Teorema: Vamos a $\mathcal F$ ser una familia de intervalos abiertos (set) que cubre el intervalo cerrado $[a.b]$. A continuación, $F$ tiene un número finito de subcover.

Prueba. Deje $B = \{x : a\leq x \leq b, \text{and} \; [a,x] \; \text{has a finite subcover} \}$. A continuación, $B$ es no vacío, ya que contiene la $a$ y tiene un límite superior $b$, por lo que el conjunto de $B$ tiene al menos un límite superior $x_0$. Primero vemos que el$x_0$$B$. Si no, entonces vamos a $(c,d)$ ser el intervalo abierto (set) en $\mathcal F$ que contiene $x_0$, entonces tiene que haber algún elemento $x \in B$ en el conjunto abierto $(c,x_0)$. Desde $x \in B$, $F_1,\dots, F_n$ $\mathcal F$ que cubre $[a,x]$. Ahora los intervalos $F_1, \dots, F_n$, $(c,d)$ en $\mathcal F$ cubierta $[a,x_0]$. Por lo $x_0 \in B$. Segunda mostramos $x_0 = b$. Supongamos $x_0 < b$, $[a,x_0]$ lo finito de la familia $F_1, \dots, F_n, (c,d) = F_{n+1}$ $\mathcal F$ cubriría $[a,d]$ $x_0$ no sería una cota superior de a $B$. Por lo que hemos encontrado un número finito de intervalos (conjuntos) que cubren $[a,b]$

Para la prueba de la Hein-Teorema de Borel, ¿cómo se $F_{n+1}$ cubierta $[a,d]$? El conjunto abierto $(c,d)$ no toque el $d$ y creo que estamos a asumir $d < b$. De hecho, el otro de la cubierta, $F_1, \dots, F_n$ no toque en cualquier lugar cerca de $d$.

EDITAR

También tengo un contraejemplo a la prueba

Tengo tres conjuntos: azul, rojo y morado. Conjunto azul sólo cubre hasta $x$, púrpura conjunto cubre una pequeña porción de alrededor de $x_0$, dejando un hueco entre el azul y el morado. El conjunto rojo es lo que cubre el resto del intervalo.

Comentario miré a Spivak del Colector libro y me he dado cuenta de que él usa las palabras "intervalo" y $U$ (conjunto abierto) por separado. Hay una razón para esto?

EDICIÓN#2 bueno he entendido el texto amarillo. Básicamente, él está diciendo que los valores de menos de $\alpha$ (él los llama "$x$") debe vivir en $A$. Si me equivoco, que me corrija. También, qué es exactamente mi foto mal, entonces?

Answer 1

El texto debería decir "... si $(c,d)$ es un intervalo abierto en $\mathcal F$ que contiene $x_0$ ..." en la primera parte. También, usted tiene razón: nosotros (inmediatamente) sólo para conseguir ese $ F_{n+1}$ cubre $[a,d)$, pero que aún muestra que $x_0$ no es un superior boud para $B$, como se observa por cualquier elemento del conjunto no vacío $(x_0,b]\cap [a,d)$, por ejemplo,$x_1=\min\{\frac{x_0+d}2,b\}$.

También tenga en cuenta que no podemos a priori suponen $d\le b$ como el cubrimiento de la propiedad de $\mathcal F$ le permite en realidad cubren más que sólo $[a,b]$ (y que es necesariamente el caso).

Answer 2

Como se narra y declaró que la prueba es de hecho incorrecta, ya que la cobertura dada por $F_1, \dots, F_n, (c, d) = F_{n+1}$ sólo cubre el intervalo de $[a, d)$. Es posible que $d > b$, por ejemplo, la colección de $\{ (-2, \frac{3}{4}), (\frac{1}{2}, 2) \}$ es un abierto de la cubierta del intervalo de $[0, 1]$. Si $d>b$ estamos hecho, puesto que ya tenemos un número finito de subcover de $[a, b]$ y puede hacer caso omiso de los detalles con respecto a límites superiores de $B$ y así sucesivamente. Sin embargo, ya que no se puede asumir $d>b$, a tomar por el bien del argumento que $d \le b$. A continuación, $d \in [a, b]$ (desde $(c, d)$ contiene un elemento, a saber,$x_0$$[a, b]$), por lo que hay un elemento de $\mathcal{F}$, se $F_{n+2}$ tal que $d \in F_{n+2}$. A continuación, $F_1, F_2, \dots , F_{n+2}$ forma una cubierta abierta de a $[a, d]$, por lo que el $d \in B$ contradiciendo ese $x_0$ es un límite superior de $B$. Esta completa y corrige la prueba de la UC en el enlace.

Con respecto a la observación acerca de Spivak del uso de "intervalo" y "abra", cabe recordar que la $[a, b], [a, b), (a, b], (a, b)$ se consideran todos los intervalos en la recta real por una gran cantidad de autores (por ejemplo Rudin, Ross, Stein, Stewart), y creo que Spivak también lo hace, pero sólo $(a, b)$ es abierto en el sentido habitual aquí. Él está diciendo que todos los puntos en un intervalo $(c, \alpha]$ se encuentran en este conjunto de $A$. Yo creo que esto es lo que estaban diciendo en la edición #2.

Finalmente, en cuanto a su imagen, a mi entender es que se están discutiendo en la brecha entre el conjunto azul y el púrpura set significa que nuestra colección finita omite algunos puntos en $[a, b]$ y no puede ser una tapa abierta, donde el conjunto azul es $\bigcup\limits_{k=1}^n F_k$. Sin embargo, su imagen ha $x$ fuera del intervalo de $(c, d)$, lo que contradice la definición misma de $x$ en la prueba, de manera que la imagen no es un contraejemplo de la prueba.

Answer 3

Creo que sé lo que estaba mal con mi problema inicial. Seguí pensando que un conjunto abierto particular dio lugar a una contradicción. Pero toda la prueba depende del hecho de que está diciendo que hay algún intervalo que hace este trabajo.

Claro que puedes encontrar uno que no funcione, pero está diciendo que incluso si un intervalo funciona, entonces todo está bien.

En mi foto,$x$ todavía vive en el intervalo rojo, por lo que es miembro de$A$.