¿El producto de dos funciones derivadas sigue siendo una función derivada?

Question

¿El producto de dos funciones derivadas sigue siendo una función derivada? Es decir, dadas dos funciones diferenciables $f$ y $g$ ¿existe siempre una función diferenciable $k$ con $f'g'= k'$ ?

Answer 1

La respuesta en general es no, he aquí un contraejemplo, donde utilizamos la misma función $f(x) = g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x^2}$ para $x \ne 0$ y $f(0) = g(0) = 0$ . Esta función es diferenciable en toda la recta real con $f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2}$ para $x \ne 0$ y $f'(0)=0$ . Sin embargo, el producto $f'(x)g'(x) = f'(x)^2$ satisface $\int_0^1 f'(x)^2 \, dx = +\infty$ por lo que si hubiera una función $k$ con $k'(x) = f'(x)^2$ entonces por el Teorema Fundamental del Cálculo (usando el hecho de que $k'$ es continua en todas partes excepto en $0$ ), obtendríamos $k(1) - k(0) = +\infty$ por lo que no puede existir tal función $k$ .

La divergencia integral no es trivial de ver, pero se deduce de los hechos que $f'(x)^2 \ge 0$ que la "envoltura" de $f'(x)^2$ crece como $\frac{4}{x^2}$ con $\int_0^1 \frac{4}{x^2} \, dx = +\infty$ y que $f$ oscila con cierta regularidad.

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ADENDA: Gracias a Dave L. Renfro por señalar el artículo de la encuesta Algunos aspectos de los productos derivados por Andrew M. Bruckner, Jan Marík y Clifford E. Weil [American Mathematical Monthly 99 #2 (febrero 1992), 134-145]. En él se resumen algunas investigaciones relacionadas motivadas por esta cuestión. En la introducción señalan un contraejemplo dado en el artículo Algunas propiedades de las funciones derivadas de Witold Wilkosz [Fundamenta Mathematicae, vol. 2(1), (1921), 145-154]. Witosz demuestra que existe una función $f$ tal que $f'(x) = \cos \frac1x$ para $x \ne 0$ y $f'(0)=0$ pero que no existe una función $k$ tal que $k'(x) = \cos^2 \frac1x$ para $x \ne 0$ y $k'(0)=0$ . Este ejemplo también muestra que existen contraejemplos con derivadas acotadas.

Para ver por qué $\cos^2 \frac1x$ no es un derivado, he aquí un argumento ligeramente más simple robado del artículo ¿Cuándo el producto de dos derivados es un derivado? por Michael W. Botsko [Revista de Matemáticas, vol. 65(3), (1992), 186-187]. Sea $F(x) = -x^2 \sin \frac1x$ para $x \ne 0$ y $F(0)=0$ . Entonces $F'(x) = -2x \sin \frac1x + \cos \frac1x$ para $x \ne 0$ y $F'(0)=0$ . La función $h(x) = x \mapsto -2x \sin \frac1x$ es continua (con $h(0)=0$ ), por lo que es una derivada por el Teorema Fundamental del Cálculo. Esto demuestra que existe una función diferenciable $f$ con $f'(x) = \cos \frac1x$ para $x \ne 0$ y $f'(0)=0$ . Un argumento similar con $\cos$ intercambiado con $\sin$ muestra que existe una función diferenciable $g$ con $g'(x) = \sin \frac1x$ y $g'(0)=0$ . Si suponemos que existen funciones diferenciables $k$ y $l$ con $k'(x) = f'(x)^2$ y $l'(x) = g'(x)^2$ entonces $k'(x) + l'(x) = \cos^2 \frac1x + \sin^2 \frac1x = 1$ para $x \ne 0$ y $k'(0)+l'(0)=0$ . Esto implica que la función $m(x) = k(x) + l(x)$ es diferenciable con $m'(x) = 1$ para $x \ne 0$ y $m'(0)=0$ . Sin embargo, es fácil ver que no existe tal función.

En sentido estricto, este argumento sólo demuestra que uno de $f'(x)^2$ y $g'(x)^2$ no es una derivada, pero no es muy difícil demostrar que ninguna de las dos lo es (ya que son casi la misma función.)