Sabemos que, dada una martingala integrable cuadrada continua, existe un proceso continuo, natural y creciente único (hasta la indistinguibilidad) que es el proceso de variación cuadrática de la martingala dada. Me gustaría saber lo contrario, es decir, dado cualquier proceso continuo, natural y creciente, ¿es posible obtener una martingala cuya variación cuadrática será el proceso dado? Si no, por favor proporcione un ejemplo de contador. Gracias
Respuesta
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Mainou
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Sí, acaba de tomar el movimiento Browniano con el cambio de tiempo $A_s$ que es para definir $M_s = B_{A_s}$. Este proceso tiene el cuadrática variación $A_s$.
El resultado $M$ es una martingala con respecto a la canónica de filtración del proceso $B$. Si queremos que esto sea cuadrado integrable, deberá pedirle a $E(A_s) < \infty$ por cada $s$. Esto es una consecuencia de la Dubins-Shwartz teorema.
