Condiciones necesarias y suficientes para que una función sea la función de Wigner de estado.

Question

Para cualquier estado cuántico definido con forma continua la posición, la función de Wigner es un quasiprobability distribución en el espacio de fase. Tiene muchas propiedades, tales como que su marginales son las distribuciones de probabilidad, aunque la misma función puede ser negativo.

Generalmente, las personas se refieren a la función de Wigner (o cualquiera de varios relacionados con la función, como el Q-función, el Husimi-función, etc.) en la forma en la que un estado cuántico y preguntar acerca de las propiedades de sus funciones de Wigner. O, dado Wigner funciones con ciertas propiedades, ¿cuáles son las propiedades correspondientes de sus estados cuánticos.

Q: estoy interesado en la otra dirección. Dada una función arbitraria de la fase-espacio, ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que esta función sea la función de Wigner de un estado cuántico?

Sin duda, todas las propiedades enumeradas en el artículo de la Wikipedia vinculado anteriormente son necesarias, aunque algunos son probablemente redundante. Pero, ¿son suficientes? Este papel de "funciones de Wigner y Weyl se transforma para los peatones" también da ciertas propiedades, pero no pude encontrar una respuesta a mi pregunta, ni allí, ni en ninguna otra parte.

Answer 1

A tu pregunta, de hecho, ha sido molido a golpes en los 70 años de la formulación, y, como usted sugiere, las condiciones necesarias no son todos independientes, de modo que las partes son redundantes.

Para un estado puro real $f(x,p)$ la condición suficiente es sencillo, eqn (6) de la Ref. 1: Dada su transformada de Fourier (la cruz-densidad espectral) debe `izquierda-derecha" factorizar, $$ \tilde{f}(x,y)=\int dp ~e^{ipy} f(x,p) ~ = ~ g^{*}_L (x-\manejadores y/2) ~g_R (x+\manejadores y/2)~, $$ es decir, $$ {\partial^2 ~~~\ln \tilde{f} \qquad \qquad \phantom{un} \over \parciales(x-\manejadores y/2)~\parciales(x+\manejadores y/2)} =0 ~, $$ de manera que, por real $f$, $g_L=g_R$. Eqn (25) más tarde logra el mismo de manera más compacta, si usted sabe la * convención.

Para los estados mixtos, usted necesita hacer algunos mental el juego de pies de la incorporación de fuera de la diagonal de la Cma. El Narkowich 1986, 1987 referencias en el libro que cubren gran parte de la costa. (Básicamente un estado mixto WF tiene un valor no negativo superposición del espacio de la fase integral con todos los estado puro WF en el planeta; por lo tanto, elegir un conveniente completa de la base, tal como oscilador autoestados, puede ser práctico para comprobar la suficiencia.)

Recordemos que el espacio de fase momentos de cualquier y todos los WFs son automáticamente limitados para satisfacer el principio de incertidumbre, que tiene para todos los estados puros, (y, por lo tanto, mixtos), por la estructura impuesta por la condición anterior.

Referencias:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie, Y Cosme K. Zachos, Un breve Tratado sobre la Mecánica Cuántica en el Espacio de Fase, Mundo Científico, 2014. El archivo PDF que está disponible aquí.

Answer 2

La inversa de la Wigner mapa es el de Weyl de cuantización mapa.

Deje $a(x,\xi)$ ser una función de la fase de espacio (es decir, el símbolo, en términos matemáticos).

• Si $a$ es un valor real, a continuación, $(a)^{Weyl}$ es simétrica;

• Deje $g(x,\xi)\in C^\infty(\mathbb{R}^{2d}; \mathbb{R}_+^*)$ tal que $\partial_{(x,\xi)}^\alpha g=O(g)$ cualquier $\alpha\in \mathbb{N}^{2d}$ y de manera uniforme en $\mathbb{R}^{2d}$. A continuación, $g$ se llama a una función de orden. Consideremos ahora una función de orden de $g$ que es también en $L^1(\mathbb{R}^{2d})$, y construir el espacio de los símbolos $S_{2d}(g)$: $a\in S_{2d}(g)$ si $a$ es suave en $(x,\xi)$, y para cualquier $\alpha\in\mathbb{N}^{2d}$, $\partial_{(x,\xi)}^\alpha a=O(g)$.

  A continuación, para cualquier $a\in S_{2d}(g)$, $(a)^{Weyl}$ es la clase de seguimiento en $L^2(\mathbb{R}^d)$; además

  $$Tr (a)^{Weyl}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^d}\int a(x,\xi)dxd\xi\; .$$

Por lo tanto, usted tiene las condiciones suficientes sobre el símbolo de la función de Wigner de una clase de seguimiento simétrica operador, con la traza de uno. Sólo la positividad de los que el operador tiene que ser revisado para dar un estado. Desgraciadamente no sé cómo comprobar a priori que la Weyl cuantización de un determinado símbolo, es positivo el operador.

Como una referencia en el Weyl cuantización procedimiento, sugiero que este libro de Martínez.

Answer 3

Una versión cuántica de la del teorema de Bochner, discutido, por ejemplo, por Bröcker y Werner y Srinivas y Lobo, da una condición necesaria y suficiente para la función de Wigner (y - P o P - funciones que pueden ser obtenidos a partir de funciones de Wigner por convolución/deconvolución) corresponden a la densidad de operador (o positivo operador en general) por la comprobación de su transformada de Fourier.