¿Es la gráfica de un movimiento browniano en un intervalo medible?

Question

Deje $n \in \mathbb{N}_1 := \{1, 2, \dots\}$ y deje $B:\Omega \times [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}^n$ ser un estándar, $n$-dimensional movimiento Browniano sobre la probabilidad de espacio $(\Omega, \mathcal{F}, P)$. Deje $t \in (0, \infty)$ y considere el siguiente conjunto:

$$ S := \{(\omega, x) \in \Omega\times\mathbb{R}^n \mid: \exists s \[0,t], x = B(\omega, s)\} $$

Es $S$ $\mathcal{F} \otimes \mathcal{B}_n$-mensurable? ($\mathcal{B}_n$ denota el campo de Borel sobre $\mathbb{R}^n$ generado por la topología Euclidiana.)

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La MOTIVACIÓN

Estoy tratando de entender por qué la ecuación (2) en saz, la respuesta tiene sentido; específicamente, ¿por qué el integrando $1_{B([0,1])}(x,y)$ es medible.

Answer 1

Por simplicidad (de notación), asumimos $n=2$, es decir, que $(B_s)_{s \geq 0}$ $2$- dimensiones el movimiento Browniano, y $t=1$. Para $k,j \in \mathbb{Z}$ $m \in \mathbb{N}$

$$A_{k,j}^m := \left[ \frac{k}{2^m}, \frac{k+1}{2^m} \right) \times \left[ \frac{j}{2^m}, \frac{j+1}{2^m} \right)$$

y

$$B_{k,j}^m := \left[ \frac{k-1}{2^m}, \frac{k+2}{2^m} \right] \times \left[ \frac{j-1}{2^m}, \frac{j+2}{2^m} \right].$$

Definimos las variables aleatorias

$$X_m(x,\omega) := \sum_{\ell=0}^{2^{8m}} \sum_{k,j} 1_{B_{k,j}^m}(x) \cdot 1_{A_{k,j}^m}(B(\ell/2^{8m},\omega)).$$

(Tenga en cuenta que fija $(x,\omega)$ $\ell \in \{0,\ldots,2^{8m}\}$ exactamente uno de los términos en la serie no es igual a cero; en particular, la variable aleatoria es bien definidos).

$\hspace{80pt}$

Pretendemos que $$X := \limsup_{m \to \infty} X_m \in [0,\infty]$$ (which is a measurable) satisfies $\{X \neq 0\}=S$. Indeed: Since $B(\cdot,\omega)$ is continuous, we know that $B([0,1],\omega)$ is compact. Hence, $$(x,\omega) \in S \Leftrightarrow x \in B([0,1],\omega) \Leftrightarrow d:=d(x,B([0,1],\omega))=0.$$

• Pick $x \in \mathbb{R}^2$, $\omega \in \Omega$ y supongamos que $d>0$. Luego se sigue directamente de la definición de que la $1_{B_{k,j}^m}(x) \cdot 1_{A_{k,j}^m}(B(\ell/2^{8m},\omega))=0$ cualquier $\ell \in \{0,\ldots,2^{8m}\}$ $m \geq m_0=m_0(x,\omega)$ lo suficientemente grande. Por lo tanto, $X(x,\omega)=0$.
• Ahora supongamos que $d=0$. Entonces existe $t \in [0,1]$ tal que $x=B(t,\omega)$. Desde el movimiento Browniano tiene casi seguramente Hölder la muestra continua de caminos de la orden de $<1/2$ (ver, por ejemplo, René Schilling & Lothar Partzsch: Movimiento Browniano de Una Introducción a los Procesos Estocásticos, en el Capítulo 9), existe una constante $C=C(\omega)$ tal que $$|B_t(\omega)-B_s(\omega)| \leq C(\omega) |t-s|^{1/4}.$$ In particular, $$|B_t(\omega)-B_{t_m}(\omega)| \leq C(\omega) 2^{-2m} = (C(\omega) 2^{-m}) \cdot 2^{-m}$$ where $t_m := \lfloor t 2^{8} \rfloor/2^{8m}$. This shows that $$x=B_t(\omega) \in B(B(t_m,\omega),2^{-m})$$ for $m$ sufficiently large. Hence, $x \in B_{k,j}^m$ for $k,j$ such that $B(t_m,\omega) \A_{k,j}^m$. In particular, we see that $X(x,\omega) \geq 1$.

Comentario Desde $(x,\omega) \mapsto 1_{B([0,1],\omega)}(x)$ conjuntamente medibles, esto implica, por el teorema de Fubini, que $$\omega \mapsto \lambda(B([0,1],\omega))$$ es medible.