¿me puede decir si estoy en lo cierto? - para comprobar la convergencia y encontrar el límite Si no es así, por favor, corrígeme, también otro método para resolver es muy bienvenido.
Para una serie determinada $$S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{(\log(n+i)-\log{n})^2}{n+1}$$
Para comprobar su convergencia, $$S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{(\log(n+i)-\log{n})^2}{n+1} =\sum_{i=1}^{n} \frac{(\log(1+\frac{i}{n}))^2}{n+1}$$
$$ \implies S_n \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{(\frac{i}{n})^2}{n+1}$$
$$ \implies S_n \leq \frac{\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}}{n^2(n+1)}$$
$$ \implies \lim_{n\to\infty} S_n \leq \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}}{n^2(n+1)}$$
$$ \implies \lim_{n\to\infty} S_n \leq \frac{1}{3}$$
Así, el límite converge
Para encontrar el límite de la suma, cambio la suma por la suma de Reimann
$$S_n =\sum_{i=1}^{n} \frac{(\log(1+\frac{i}{n}))^2}{n+1}$$
$$ \implies S_n =\int_{1}^{2} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1}(\log(1+x))^2$$
$$ \implies S_n =\int_{1}^{2} (\log(1+x))^2$$
Uso de la integración por partes
$$ \implies S_n =2(\log2)^2-2\log2+1 $$
