¿Qué hay de malo en mi comprensión del Teorema de incrustación de Freyd-Mitchell?

Question

Es verdaderamente extraño que no existe ningún modernas exposición de este teorema, como se señaló en otra parte. De todos modos, pensé en meter a través y ver si podía conseguir la esencia de cómo funciona, como alguien que ha familiaridad con categórica técnicas, si no abelian técnicas.

Aquí es cómo va, después de Cisne y wikipedia. Tenemos un pequeño abelian categoría $\mathcal{A}$, y queremos una exacta completa integración en la categoría de módulos para algunos de anillo. El primer paso es tomar la Yoneda incrustación $\mathcal{A} \to \mathcal{L}^\mathrm{op}$ donde $\mathcal{L} = \mathrm{Lex}(\mathcal{A},\mathsf{Ab})$. Hay otras maneras para denotar $\mathcal{L}$ -- $\mathrm{Ind}(\mathcal{A}^\mathrm{op})$ o $\mathrm{Pro}(\mathcal{A})^\mathrm{op}$. Así que es un hecho general de que esta inclusión es exacta, y estoy totalmente de creer que $\mathcal{L}^\mathrm{op}$ es abelian.

Pero a menos que yo estoy leyendo algo mal, el punto es que $\mathcal{L}^\mathrm{op}$, en realidad es una categoría de módulos sobre un anillo -- uno construye un proyectiva generador. Esto no puede ser correcto. Debido a $\mathcal{L}^\mathrm{op} = \mathrm{Ind}(\mathcal{A}^\mathrm{op})^\mathrm{op}$ es el opuesto de un local presentable categoría! Por lo $\mathcal{L}^\mathrm{op}$ no puede ser localmente presentable (el opuesto de un local presentable categoría nunca es localmente presentable, a menos que la categoría es un preorder -- cf el nlab Contraejemplo 7, o Thm 1.64 Adámek y Rosický), y por lo tanto no puede ser la categoría de módulos sobre un anillo.

Lo estoy entendiendo mal? Lo lógico es dualize e incrustar $\mathcal{A}$ a $\mathrm{Lex}(\mathcal{A}^\mathrm{op},\mathsf{Ab}) = \mathrm{Ind}(\mathcal{A})$, que es localmente presentable. Pero si usted hace esto, parece que podría tomar algún tipo de milagro para el generador ser proyectiva.

Answer 1

No muestran que $\mathcal{L}^{op}$ es en realidad una categoría de módulos que cualquier pequeña subcategoría de ella completamente y exactamente lo incrusta en uno. De hecho, una de abelian categoría con un proyectiva generador no es generalmente equivalente a una categoría de módulos: sólo se es si el proyectiva generador es compacto (y la categoría es cocomplete). En el caso de $\mathcal{L}^{op}$, no hay ninguna razón para esperar que la proyectiva generador compacto.

Tenga en cuenta que, en general, un proyectiva generador no necesariamente damos una completa integración en una categoría de módulos, digamos que es esencialmente surjective sobre los objetos. Sin embargo, si usted tiene un proyectiva generador de $P$ que en realidad puede surject a cada objeto, a continuación, $\operatorname{Hom}(P,-)$ da una totalmente fiel exacta de la incrustación en $R\text{-Mod}$ donde $R=\operatorname{End}(P)$ (pero entonces no será esencialmente surjective sobre los objetos, ya que si ese $P$ existe su categoría no se cocomplete). Tal $P$ existen para cualquier pequeña subcategoría de $\mathcal{L}^{op}$ (acaba de tomar una suma directa de copias suficientes de su proyectiva generador), y, en particular, para la imagen de $\mathcal{A}$.

He aquí un ejemplo simple donde un proyectiva generador no dar una completa incrustación de objetos (un caso especial de Jeremy Rickard sugerencia en los comentarios). Deje $k$ ser un campo y considerar la posibilidad de $k$ como un objeto de $k\text{-Mod}^{op}$. A continuación, $k$ es un proyectiva generador, y la incrustación se da, es sólo la dualidad functor $k\text{-Mod}^{op}\to k\text{-Mod}$. Esto no es completa: si $V$ $W$ son de dimensiones infinitas espacios vectoriales, entonces no todos lineal mapa de $W^*\to V^*$ es el doble de un lineal mapa de $V\to W$.

Aquí es de un tipo diferente de ejemplo que creo que es también instructivo. Tome la categoría de contables abelian grupos, y por Lowenheim-Skolem tomar una contables subcategoría $\mathcal{C}$ que es un elemental de la subestructura (el lenguaje de las categorías) y contiene los objetos $\mathbb{Z}$, $\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z}$, y todos homomorphisms $\mathbb{Z}\to\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z}$. A continuación, $\mathbb{Z}$ seguirá siendo un proyectiva de un generador de $\mathcal{C}$, y por lo que da un fiel exacta de la incrustación de $\mathcal{C}\to\mathcal{Ab}$ que envía a $\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z}$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{Z},\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z})=\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z}$. Pero la inclusión no es completo, puesto que $\mathcal{C}$ es contable y, por tanto, $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z},\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z})$ es contable, sino $\operatorname{Hom}_{\mathcal{Ab}}(\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z},\bigoplus_\mathbb{N}\mathbb{Z})$ es incontable.