Homología relativa$H_n(T^2,S^1)$ (Hatcher, Exc 2.1,17.b)

Question

Yo estoy pasando por Hatcher Topología Algebraica y estoy tratando de resolver el ejercicio 17.b de la parte 2.1. La pregunta para el cálculo de la relación de homología $H_n(X,B)$.

Tal y como yo lo entiendo , si en un doble toro nos colapso de la $B$ círculo, es el mismo como el colapso de un conjunto $S=\{pt_1,pt_2\}$ de dos puntos en un regular torus $T$.

Para que voy a usar el largo de la secuencia exacta de la reducción de la homología (Teorema 2.13 en Hatcher). Por ese teorema obtenemos:

$\tilde{H}_1(S)\rightarrow \tilde{H_1}(T)\rightarrow \tilde{H}_1(T,S)\rightarrow \tilde{H}_0(S)$.

Ahora, esto nos da la exacta secuencia $0\rightarrow \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\rightarrow \tilde{H}_1(T,S)\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 0$.

Hay alguna forma "fácil" para deducir que la homología grupo es $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$? (esto es lo que mi intuición me dice).

Answer 1

Sí. Como$\mathbb Z$ es gratis, la secuencia se divide y obtienes lo que quieres.

Answer 2

En caso de que usted no está enterado de la división de lema, vamos a probar este a mano (esta prueba, obviamente, se extiende fácilmente para el caso general).

En primer lugar, vamos a $H = \tilde{H}_1(T,S)$ y vamos a dar los nombres de los mapas:

$$0\rightarrow \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z} \overset{f_1}{\rightarrow} H \overset{f_2}{\rightarrow}\mathbb{Z}\rightarrow 0.$$

Tenga en cuenta que el mapa de $\mathbb Z \to 0$ es trivial, por lo que su núcleo es el conjunto de los $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, el mapa de $H \overset{f_2}{\to} \mathbb Z$ debe ser surjective por la exactitud. Deje $h \in H$ ser un elemento que $f_2(h) = 1$. Definir la función de $g \colon \mathbb{Z} \to H$ sobre el generador por $g(1) = h$. Entonces es fácil ver que $f_2(g(n)) = n$ todos los $n \in \mathbb{Z}$.

Ahora definir un mapa de $i \colon (\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}) \oplus \mathbb{Z} \to H$$i(x,y) = f_1(x) + g(y)$. Vemos que $i$ es claramente un homormophism.

Tenga en cuenta que si $i(x,y) = 0$$f_1(x) + g(y) = 0$, lo que significa que $f_1(x)=g(y)$$f_2(f_1(x)) = f_2(g(y))$. Pero $f_2(g(y))=y$ por la definición de $g$. También, por la exactitud, $f_2(f_1(x)) = 0$, por lo que tenemos $y=0$. De ello se desprende que $f_1(x) = 0$ e, $f_1$ es inyectiva por la exactitud, $x$ debe $0$. De ello se desprende que $i$ es inyectiva.

Ahora, vamos a $z \in H$. Deje $\tilde{z} = z - g(f_2(z))$. Tenemos $f_2(\tilde{z}) = f_2(z) - f_2(g(f_2(z))) = f_2(z) - f_2(z) = 0$$\tilde{z} \in \ker f_2$. De ello se desprende que $\tilde{z} \in \operatorname{im}f_1$ por la exactitud. Deje $a \in \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ ser tal que $f_1(a) = \tilde{z}$. Finalmente, vemos que $$i(a,f_2(z)) = f_1(a)+g(f_2(z)) = \tilde{z} + g(f_2(z)) = z - g(f_2(z)) +g(f_2(z)) = z.$$ Hence, $z$ is in the image of $i$ and so $i$ is surjective. It follows that $i$ es un isomorfismo.