Comprensión de la prueba: dado el vector unitario$x$, encuentre$y$, tal que$y^* x = ||y|| = 1$

Question

Estaba leyendo esta prueba, en la sección III $\to$ II, donde la situación es la siguiente:

• un vector $x\in \mathbb{C}^n$ es dado, de tal manera que $||x|| = 1$, para algunos vector de norma $||x||$.
• estamos buscando un $y\in \mathbb{C}^n$, de tal manera que $y^*x = 1$$||y|| = 1$.

Puedo encontrar a $y$ si $||\cdot|| = ||\cdot||_2$ o $||\cdot|| = ||\cdot||_\infty$, pero no entiendo, ¿cómo puede $y$ existen, en el caso de $||\cdot|| = ||\cdot||_1$, desde

$$|y^* x| = \left|\sum_{i} x_i \overline{y_i}\right|\leq \sum_{i} |x_i \overline{y_i}|\leq\sum_i M_y |x_i| = M_y\text{,}$$ donde $M_y = \max_i |y_i|$. Desde $||y||_1 = 1$, sabemos que $M_y\leq1$. Desde la parte superior de la fórmula, se deduce que debemos tener

• $M_y = 1$
• $|y_i| = M_y$, para todos los $i$,

de lo contrario,$|y^* x| < 1$. Por lo tanto, $||y||_1 = \sum_i |y_i| = n$$y\neq 1$.

La prueba, dice que Por normas generales, la existencia de una vector de la siguiente manera a partir de la teoría de la doble normas (un corolario a la de Hahn-Banach teorema).

Answer 1

Esta es una prueba de Análisis de la Matriz, por Johnson y el Cuerno. Tiene un gran capítulo sobre normas, si tienes curiosidad.

Teorema de 5.5.9 (teorema de la Dualidad) [Deja a $V=\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$]

Si $f$ es una norma, y $x_0\in V$ es dado, entonces hay algo de $z\in V$ (no necesariamente único) tal que $f^D(z)=1$$f(x_0)=z^*x_0$, $|z^*x_0|\le f(x)$ todos los $x\in V$$f(x_0)=z^*x_0$.

Prueba.

Por cada $x_0\in V$, [la igualdad de $f$$f^{DD}$] asegura que $f(x_0)=\max_{f^D(y)=1}\operatorname{Re}y^*x_0$, y el diseño compacto de la unidad de la esfera de la norma $f^D$ asegura que hay algunos $z$ tal que $f^D(z)=1$$\max_{f^D(y)=1}\operatorname{Re}y^*x_0=\operatorname{Re}z^*x_0$. Si $z^*x_0$ no eran reales y no negativos, no sería un número real $\theta$ tal que $\operatorname{Re}(e^{-i\theta}z^*x_0)>0>\operatorname{Re}z^*x_0$ (de curso, $f^D(e^{i\theta}z)=f^D(z)=1$), lo cual estaría en contradicción con maximality: $\operatorname{Re}z^*x_0\ge\operatorname{Re}y^*x_0$ todos los $y$ en la unidad de la esfera de $f^D$. $\qquad\qquad\Box$