Encontrar el límite: $\lim_{n\to\infty} \frac{ \sum_{i=1}^n\lfloor i^3x \rfloor}{n^4}$

Question

PS

Mi trabajo$$\lim_{n \to {\infty}} \frac{ \sum_{i=1}^n\lfloor i^3x \rfloor}{ n^4}$ $$$\lim_{n \to {\infty}} \frac{ \sum_{i=1}^ni^3x}{ n^4} -\lim_{n \to {\infty}} \frac{ \sum_{i=1}^n{\{i^3x\}}}{ n^4}$ $

{.} representa la parte fraccionaria

Puedo decir esto$$\lim_{n \to {\infty}} \frac{x{((n)(n+1))}^2}{4 {n^4}}-\lim_{n \to {\infty}}\frac{ \sum_{i=1}^n{\{i^3x\}}}{ n^4}$ $

Answer 1

Sí, es cierto que$$\lim_{n \to {\infty}}\frac{ \sum_{i=1}^n{\{i^3x\}}}{ n^4} = 0$ $ desde$0\le\{y\}<1$ para cualquier$y\in\mathbb R$.

Alternativamente, podemos usar una cadena de desigualdades para la función de piso$$\sum_{i=1}^n(i^3x-1)<\sum_{i=1}^n\lfloor i^3x \rfloor\le\sum_{i=1}^ni^3x$ $ y aproximar la suma mediante integrales definidas $$ \ frac {(n-1) ^ 4} 4- \ frac14 = \ biggl [\ frac { x ^ 4} {4} \ biggr] _1 ^ {n-1} = \ int_1 ^ {n-1} x ^ 3 \ mathrm dx \ le \ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 3 \ le \ int_0 ^ nx ^ 3 \ mathrm dx = \ biggl [\ frac {x ^ 4} {4} \ biggr] _0 ^ n = \ frac {n ^ 4} 4 $$ para obtener la respuesta.

Answer 2

El enfoque elegido es buena y probablemente el más sencillo para este límite. Sólo en caso de que sea de utilidad para usted en el futuro, voy a mencionar que también se puede utilizar Stolz-Cesaro teorema para obtener $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sum_{i=1}^n \lfloor i^3x \rfloor}{n^4} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\lfloor (n+1)^3x\rfloor}{(n+1)^4-n^4} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\lfloor (n+1)^3x\rfloor}{4n^3+6n^2+4n+1}.$$ Por supuesto, también debemos comprobar que las hipótesis de Stolz-Cesaro teorema están satisfechos.