Con lo que se obtiene

Question

Qué polinomios$P(X)$ en$\mathbb C[X]$ satisfacen:

$5) \ P(\mathbb R\setminus\mathbb Q) \subset \mathbb R\setminus\mathbb Q$?

Los siguientes ya han sido resueltos:

$1) \ P(\mathbb C) \subset \mathbb R$?

$2) \ P(\mathbb U) \subset \mathbb U$ con$\mathbb U$ siendo el círculo unitario$\big\{z\in\mathbb{Z}\,\big|\,|z|=1\big\}$?

$2') \ P(\mathbb U) = \mathbb U$?

$3) \ P(\mathbb Z) \subset \mathbb Z$?

$4) \ P(\mathbb Q) \subset \mathbb Q$?

$4') \ P(\mathbb Q) = \mathbb Q$?

Answer 1

(4) es el conjunto de polinomios cuyos coeficientes son todos racionales. Tenga en cuenta que podemos obtener los coeficientes de$P$ como combinaciones lineales racionales de los valores de$P$ en los enteros, utilizando diferencias finitas.

Answer 2

Esta es una solución de (4'). Pretendemos que la única manera posible de polinomios $P(X)\in \mathbb{C}[X]$ con la propiedad de que $P(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ son de la forma $P(X)=a\,X+b$ donde $a$ $b$ son números racionales con $a\neq 0$.

Para comprobar esto, basta para demostrar que el reclamo al $P(X)$ es monic con coeficientes enteros (por qué?). Supongamos por el contrario que existe una monic polinomio $P(X)\in\mathbb{Z}[X]$ de grado de al menos $2$ con la propiedad requerida. Claramente, $P(X)$ debe tener un grado impar. Por lo tanto, para los números enteros $n$ con suficientemente grande $|n|$, la ecuación de $P\left(x_n\right)=n$ tiene una única solución real $x_n$.

Supongamos que a partir de ahora en ese $n$ es un número entero suficientemente grande $|n|$. Ahora, la suposición de que $P(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ significa que de cada solución $x_n$ debe ser racional. Como $x_n$ también debe ser un entero algebraico, llegamos a la conclusión de que $x_n$ debe ser un entero. Sin embargo, puede ser fácilmente demostrado que $$P(k+1)-P(k)\to \pm\infty\text{ as }k\to \pm\infty$$ (this is where we need the assumption that the degree of $P(X)$ is at least $2$).

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Para (2) y (2'), considere la posibilidad de un holomorphic función de $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ tal que $f(\mathbb{U})\subseteq \mathbb{U}$. Escribir $\mathbb{D}$ para la unidad de disco $\Big\{z\in\mathbb{C}\,\boldsymbol{\big|}\,|z|<1\Big\}$, por lo que el $\mathbb{U}=\partial\mathbb{D}$. Voy a demostrar que $$f(z)=u\;\sigma_1(z)\,\sigma_2(z)\,\cdots\,\sigma_n(z)$$ for some integer $n\geq 0$, for some $u\in\mathbb{U}$, and for some (holomorphic) automorphisms $\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_n\en\text{Aut}(\mathbb{D})$ of $\mathbb{D}$.

Por el Máximo Módulo Principio, el valor máximo de $|f|$ $\bar{\mathbb{D}}$ es alcanzado en $\mathbb{U}$, de donde $f|_{\bar{\mathbb{D}}}$ mapas de $\bar{\mathbb{D}}$ $\bar{\mathbb{D}}$holomorphically. Si $f$ no tiene ceros en el interior de $\mathbb{D}$,, de nuevo con el Máximo Módulo Principio, el valor mínimo de $|f|$, restringido a $\bar{\mathbb{D}}$, es alcanzado en $\mathbb{U}$. En consecuencia, $f$ mapas de open disc $\mathbb{D}$$\mathbb{U}$. Por la Asignación Abierta Teorema (de holomorphic funciones), $f$ es constante o $f(\mathbb{D})$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$. Desde cualquier subconjunto de a $\mathbb{U}$ no es un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$, llegamos a la conclusión de que $f$ es constante. Es decir, $f(z)=u$ algunos $u\in\mathbb{U}$.

A partir de ahora, vamos a suponer que $f$ tiene ceros en el interior de $\mathbb{D}$. A continuación, $f$ tiene un número finito de ceros $w_1,w_2,\ldots,w_n$ $\mathbb{D}$ (contando multiplicidades). Existe una automorphism $\tau_1$ $\mathbb{D}$ que envía a$0$$w_1$. Deje $f_1:=f\circ \tau_1$. Es decir, $f_1(z)=z\,g_1(z)$ para algunos holomorphic función de $g_1:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Ahora, supongamos que tenemos una función de $g_k$ a lo largo de con $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_k\in\text{Aut}(\mathbb{D})$. Si $k<n$, entonces podemos encontrar un automorphism $\tau_{k+1}$ $\mathbb{D}$ que envía a$0$$\left(\tau_k^{-1}\circ\tau_{k-1}^{-1}\circ\cdots\circ\tau_1^{-1}\right)\left(w_{k+1}\right)$. Set $f_{k+1}:=g_k\circ\tau_{k+1}$. A continuación, $f_{k+1}(z)=z\,g_{k+1}(z)$ para algunos holomorphic función de $g_{k+1}:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$. Este proceso termina cuando se $k=n$.

Desde el párrafo anterior, obtenemos un holomorphic función de $g_n:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ sin ceros en $\mathbb{D}$ tal que $g_n$ mapas de $\bar{\mathbb{D}}$ a sí mismo. Esto significa $g_n(z)=u$ para algunas constantes $u\in\mathbb{U}$. Escribir $\sigma_k:=\tau_k^{-1}\circ\tau_{k-1}^{-1}\circ\cdots\circ\tau_1^{-1}$$k=1,2,\ldots,n$. A continuación, $$f(z)=u\,\prod_{i=1}^n\,\sigma_i(z)\,,$$ como se requiere.

Ahora, si $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ es un polinomio de satisfacciones $P(\mathbb{U})\subseteq\mathbb{U}$, luego por la de la obra anterior, podemos ver fácilmente que el $P(X)=u\,X^n$ para algunos enteros $n\geq 0$$u\in\mathbb{U}$. Además, si $P(\mathbb{U})=\mathbb{U}$, $n>0$ deben tener.

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Para (5), nos puño muestran que, si $P(X)$ es no constante, entonces $P(X)\in\mathbb{Q}[X]$. Es obvio que ese no constante $P(X)$ debe satisfacer $P(X)\in\mathbb{R}[X]$. Por lo tanto, $P(\mathbb{R})$ contiene un intervalo abierto $I \neq \emptyset$. Este intervalo de $I$ tiene una infinidad de números racionales, y que debe ser asignada a través de $P$ a partir de un conjunto infinito de los números racionales. Esto demuestra que $P(X)\in\mathbb{Q}[X]$.

Como antes, podemos suponer que la $P(X)\in\mathbb{Z}[X]$ es monic. Si $P(X)$ tiene un grado de $d>1$, entonces podemos usar un argumento similar a (4') para producir una contradicción (desde $P(\mathbb{Z})$ debe contener todos los suficientemente grandes enteros positivos). Por lo tanto, $P(X)$ es lineal.

En conclusión, hay dos tipos de polinomios satisfacer la condición (5). La primera clase consiste en la constante polinomios $P(X)=t$ donde $t\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. La segunda clase se compone de polinomios $P(X)=a\,X+b$ donde $a$ $b$ son números racionales con $a\neq 0$.