¿Por qué hay nueve poliedros regulares?

Question

Contexto para la pregunta:

El estudio de los poliedros y, más en general, de los politopos nunca se ha centrado especialmente en el rigor, y muchas referencias de los resultados suelen ser inexistentes o imposibles de encontrar.

Esto me llevó a intentar demostrar algunos resultados básicos sobre los poliedros. Para que quede claro, la definición de poliedro que utilizo es un conjunto de caras y aristas poligonales tal que dos caras son adyacentes a cada arista, no hay dos elementos que coincidan y tal que ningún subconjunto de caras y aristas forma un poliedro válido (esto excluye los compuestos).

El problema de responder a la pregunta:

Teniendo esto en cuenta, ahora puedo utilizar la definición común de poliedro regular como un poliedro de vértices transitivos con caras congruentes y regulares. Sin embargo, me encontré con un problema al intentar demostrar que sólo había 5 tipos convexos y 4 no convexos (sólidos platónicos y de Kepler-Poinsot):

En primer lugar, la prueba común de los sólidos platónicos (la que utiliza el hecho de que no se pueden tener muchas formas con muchos lados alrededor de un vértice) asume demasiadas cosas. Por ejemplo, primero hay que demostrar que la suma de los ángulos alrededor de un vértice es menor que $2\pi$ lo que es falso en el caso general, no necesariamente convexo. Además, hay que demostrar que dada una disposición de vértices, hay como mucho un poliedro regular que se puede hacer. E incluso con todo esto, el argumento no se puede generalizar a los sólidos no convexos: Uno puede encajar perfectamente 7 triángulos equiláteros alrededor de un vértice, si se permite que se crucen.

Entonces, ¿por qué sólo hay 9 tipos regulares de poliedros?

[EDIT #1]

Utilizando la respuesta de Arentino, puedo caracterizar inmediatamente los casos convexos. Si pudiera demostrar que el casco convexo de cualquier sólido regular es regular, podría fácilmente buscar polígonos en los vértices de estos cinco sólidos y comprobar cómo conectarlos para crear los otros cuatro casos. Sin embargo, tampoco sé por qué debería ser así, y no tengo ni idea de cómo demostrarlo.

[EDIT #2]

Asumiendo todas las propiedades "conocidas" de los cascos convexos (son poliedros para conjuntos finitos de puntos, etc.), he podido demostrar que los cascos convexos tienen que ser transitivos a los vértices (cualquier simetría del poliedro original que lleve el vértice A al B, preservará las posiciones de los vértices en su conjunto y por tanto el casco convexo. En consecuencia, las figuras de los vértices son todas congruentes. Sin embargo, todavía tengo que demostrar que las caras son todas congruentes y regulares, y no sé cómo hacerlo. (Una vez más).

[EDIT #3]

¡Por fin, algo de literatura útil! He encontrado lo siguiente libro (p. 260) donde describe por qué todo sólido de Kepler-Poinsot debe ser una estelación de un poliedro regular. (Aunque si alguien puede demostrar lo de las colinas convexas, lo agradecería profundamente). Sólo hay un pequeño problema. No entiendo del todo la prueba. Por ejemplo, ¿por qué el "núcleo" del poliedro debería ser un poliedro convexo? E incluso si lo es, ¿cómo demostró que estaba formado por caras regulares?

Answer 1

No sé si lo que sigue se puede extender a los poliedros no convexos, pero se puede demostrar que sólo existen cinco poliedros convexos utilizando la fórmula de Euler.

Dejemos que $F$ , $V$ y $E$ sea el número de caras, vértices y aristas de un poliedro regular. Que cada cara tenga $n$ lados ( $n\ge3$ ) y $k$ las aristas se encuentran en cada vértice ( $k\ge3$ ). Tenemos entonces: $E=nF/2$ y $E=kV/2$ . Insertando esto en la fórmula de Euler $F+V-E=2$ da: $$ E={2nk\over 2n+2k-nk}. $$ Pero éste es un número entero positivo sólo si el denominador es $\ge1$ , lo que da: $$ k\le2+{3\over n-2}. $$ Para $n=3$ entonces obtenemos $k\le5$ Es decir $k=3$ , $k=4$ o $k=5$ para $n=4$ obtenemos $k\le7/2$ Es decir $k=3$ para $n=5$ obtenemos $k\le3$ Es decir $k=3$ . Para $n\ge6$ tendríamos $k<3$ que no está permitido. Así que sólo tenemos los cinco valores posibles de $n$ y $k$ que figuran en la lista anterior.

Si algún tipo de fórmula de Euler también es válida para poliedros no convexos, entonces se podría intentar repetir este razonamiento incluso en ese caso.

Answer 2

Perdón por no haber subido esta respuesta antes. Se me ocurrió hace una semana mientras trataba de entender la prueba (algo incompleta) que di arriba.

Un $n$ -El eje de rotación doble será un eje de rotación que deja invariante todo el poliedro después de rotarlo $\frac{2\pi}{n}$ sobre ella. Mi solución depende básicamente de este lema:

Lema: Un poliedro regular $\{\frac{p}{a}, \frac{q}{b}\}$ tiene un $p$ -eje de rotación alrededor de una cara que la deja invariante, y un $q$ -Eje de rotación doble alrededor de un vértice. (Si no entiendes lo que quiero decir, mira aquí ).

Prueba: Obsérvese que dados los números $\frac{p}{a}$ y $\frac{q}{b}$ , dado un rostro $\{p\}$ y una orientación de la misma (uno de los dos lados de dicha cara), se pueden construir (como mucho) de forma única los poliedros regulares $\{p,q\}$ . (Esto se puede justificar rigurosamente demostrando que la pirámide formada por un vértice y los vértices adyacentes es única, lo cual no es tan difícil). Por lo tanto, cualquier simetría de $\{p\}$ que no se mueve de un lado a otro debe ser una simetría de todo el poliedro, lo que implica que tiene una $p$ -Eje de simetría doble a través de esta cara.

Para comprobar que también debe tener un $q$ -eje de simetría por un vértice, basta con comprobar el dual. $\blacksquare$

Vale, he mentido, no es tan sencillo. Porque hacer esto supone que el dual de un poliedro regular es regular. Sin embargo, si demostramos que un poliedro es regular si es transitivo de vértices, aristas y caras, habremos terminado. Para demostrar la parte "si", sólo tenemos que observar que la transitividad de caras y aristas implica que todas las caras son congruentes y regulares, en ese orden. (Todos los lados iguales implica aquí regular porque como los vértices de un poliedro regular están en una esfera, sus caras deben ser cíclicas. Para demostrar que los vértices están en una esfera en primer lugar, basta con utilizar datos sobre los grupos de simetría). Para demostrar la parte "sólo si", sólo tenemos que aplicar el lema anterior repetidamente, ya que es muy fácil demostrar que hay una simetría que mapea dos aristas o caras adyacentes entre sí.

Bien, ahora viene la parte más ingeniosa. Como un poliedro regular claramente no puede tener un $C_n$ o $D_n$ grupo de rotación, ya que por nuestro lema debemos tener al menos 2 $n$ -eje que dejan la figura invariante (con $n\geq 3$ ). Pero ni los grupos de rotación tetraédricos, octaédricos o icosaédricos contienen rotaciones de orden superior a 5. Por lo tanto, en un $\{\frac{p}{a},\frac{q}{b}\}$ , $p,q\leq 5$ . Es decir, $\frac{p}{a}, \frac{q}{b}\in\{3,4,5,\frac{5}{2}\}$ . Esto deja muy pocos casos que puedan ser revisados a mano. (Y con un poco más de ayuda de los grupos de rotación de nuevo).

La prueba que había enviado también es válida, pero asume implícitamente que un poliedro regular es transitivo de caras y aristas.