¿Cuál es la diferencia entre leyes constitutivas y ecuaciones de gobierno?

Question

Estoy estudiando sobre el método de los elementos finitos en una clase, pero no procedo de la ingeniería civil. De todas formas, no me ha quedado claro cuál es la diferencia entre leyes constitutivas y ecuaciones de gobierno son. Para mí, ambos relacionan cantidades físicas entre sí.

Answer 1

Una ley constitutiva suele ser una solución aproximada a otra ecuación diferencial (rectora) que tiene una escala transitoria mucho menor. En el ejemplo del pistón utilizamos una ley estática para la presión en una situación dinámica. Suponíamos que las ondas sonoras y otras complicaciones en el gas debidas al movimiento del pistón se relajan mucho más rápido que $X$ cambia, por lo que no resolvemos la otra ecuación diferencial con posición desconocida del pistón, sino que utilizamos su solución con una posición dada (estática) del pistón. Así reducimos el número de ecuaciones de gobierno acopladas.

Otro ejemplo es la relación entre el campo eléctrico dependiente del tiempo $\vec{E}(t)$ y actual $\vec{j}(t)$ por conductividad $\sigma$ : $$\vec{j}(t) = \sigma \vec{E}(t)$$

Aquí se desprecian las propiedades inerciales de los electrones (sin retardo, sin tiempo de relajación, reacción inmediata al ( o "siguiendo") el campo externo). De hecho, existe una ecuación rectora para la velocidad de los electrones que contiene un término inercial: algo así como $m_e \frac{d\vec{v}}{dt}$ en el lado izquierdo y las fuerzas en el lado derecho. Las fuerzas son el campo eléctrico externo y la fricción interna proporcional a la velocidad (resistencia eléctrica). Cuando despreciamos el lado derecho, la solución se obtiene a partir de la igualdad de fuerzas (impulsión y rozamiento); así se obtiene la solución $\vec{j}(t) = \sigma \vec{E}(t)$ (una ley constitutiva) en lugar de una ecuación rectora.

Answer 2

Una ley constitutiva suele ser una relación algebraica que indica los coeficientes de una ecuación diferencial, mientras que las ecuaciones de gobierno son las propias ecuaciones diferenciales.

Por ejemplo, si tengo un pistón metálico sobre un gas, puedo escribir la ecuación de movimiento del pistón

$$m \ddot X - PA = 0$$

Donde P es la presión en el gas y A es el área del pistón. Sin saber cómo depende la presión de la posición del pistón, ésta no es una ecuación cerrada se refiere a una cantidad indeterminada, la presión. Pero la ley de los gases ideales, que la presión $P=C/(V-AX)$ donde C,V son constantes, determina la presión en términos de X, y da

$$ m \ddot X -{ AC\over (V - AX)} =0$$

Ahora la ecuación está cerrada: te dice el comportamiento futuro de X sabiendo sólo X. La ley de los gases ideales es la relación constitutiva en este caso, mientras que la ecuación diferencial es la ecuación gobernante.

Las ecuaciones constitutivas son algebraicas, las ecuaciones de gobierno son diferenciales.