Siempre me han dicho que si $f(x)$ es una función continua en$a$, de modo que $f(a) = L$,$\lim_{x\to a}f(x) = L$. Por favor, podría alguien explicar en detalle por qué esto es cierto?
Respuestas
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Es cierto, porque de la manera en que definimos como "continuo" y por el sentido de $\lim_{x\to a}f(x)=L.$ Que partes de esas definiciones están teniendo problemas con el?
En última instancia, la mayoría de los cursos va a definir lo que entendemos por $$\lim_{x→a} f(x)=L,$$ then define "$f(x)$ is continuous at $$" by in effect saying $\lim_{x→a}f(x)=f(a)$ (en cualquier forma). No hay mucho más que eso.
DiGi
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Realmente no hay nada que explicar: es, esencialmente, la definición de continuidad de $f$$a$.
Definición. Deje $f$ ser un valor real función definida en el dominio $D\subseteq\Bbb R$, y deje $a\in D$ ser tal que $(a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq D$ algunos $\epsilon>0$. (En otras palabras, $D$ contiene un intervalo abierto alrededor de $a$.) A continuación, $f$ es continua en a $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
La última frase puede ser parafraseado de la siguiente manera para hacer que se vea más como tu pregunta:
A continuación, $f$ es continua en a $a$ si hay un $L\in\Bbb R$ tal que $\lim_{x\to a}f(x)=L$$f(a)=L$.
Una función continua es simplemente una función que es continua en cada punto de su dominio, así que si $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es continua, entonces , por definición, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ por cada $a\in\Bbb R$.
Sidhartha Shenoy
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