La comprensión de de Rham cohomology: geométricamente hablando, cuando es una función suave cerrado

Question

En la Wikipedia el de Rham cohomology grupos se definen a ser el cohomology grupos de de Rham cochain complejo (clases de equivalencia de los diferenciales $k$-formas).

Según esta definición el cero de de Rham cohomology grupo es el conjunto de todos cerrados diferencial cero formas modulo del todo exacto $0$-formas (es decir, el modulo de la imagen del exterior de derivados). En la fórmula,

$$ H^0_{dR} = {\ker d^{1}\over \mathrm{im } d^0 } = \ker d^{1}$$

Desde $d^0: 0 \to \Omega^0$ es la trivial mapa.

Pregunta1: ¿Estoy en lo correcto?

El uso de la notación y la terminología en la Wikipedia $H_0$ es, por tanto, el conjunto de todos los cerrados $0$-formas. Desde $0$-las formas son suaves las funciones de la pregunta que surge es ¿qué significa que una función suave $f$ a ser cerrado, es decir, que $f$ tiene fuga exterior derivado $df=0$.

Pregunta2: ¿Cómo determinar si una función suave está cerrado?

Answer 1

Piensa acerca de esto en el caso de $\mathbb{R}^1$. ¿Qué tipo de funciones $\frac{df}{dx} = 0$ en todas partes?

Después de esto, lo que sucede en $\mathbb{R}^n$ cuando todas las derivadas parciales se desvanecen?

Ahora un poco más difícil caso: En $\mathbb{R}^1-\{0\}$, qué tipo de funciones puede tener fuga de derivados? ¿Hay más o menos funciones tales que para todos los de $\mathbb{R}^1$?

Tal vez ahora se están empezando a adivinar que la dimensión de $H^0$ cuenta algo. ¿Qué contar?