L/K es de Galois de la extensión de Demostrar que $Gal(L/N)=\cap_{\phi\in G} \phi H \phi^{-1}$

Question

Supongamos que $L/K$ es de Galois de la extensión con $G=Gal(L/K)$ $M$ es inmediata ámbito de las ti. Si $N\subseteq L$ es normal cierre de $M/K$ $H=Gal(L/M)$ demostrar que $Gal(L/N)=\cap_{\phi\in G}{\phi H \phi^{-1}}$

Yo había resuelto ese $Gal(L/N) \subseteq \cap_{\phi\in G}{\phi H \phi^{-1}}$, pero el recíproco no puedo. Aprovecho $\phi' \in Gal(L/N)$ $K$ isomorfismo y $\phi'(M)\subseteq N$$\cap_{\phi\in G}{\phi H \phi^{-1}} \subseteq \phi' H \phi'^{-1}$, y no sé a $\phi' \alpha \phi'^{-1}(n)=n$ $\alpha \in Gal(L/M)$ es aceptable o no? Debido a $\phi'(M)\in N$ no significa que $\phi'^{-1}(N)=M$

Answer 1

el campo $N$ es la normalizado de $M$$K$$L$, por lo que es la menor extensión de $M$ tal que $ Gal(L / N)$ está incluido en $H = Gal (L / M)$ y normal en $Gal (L / K)$, lo $Gal (L / N)$ es el más grande de los subgrupos de $ H$ eso es normal en $ G$.

así que reformular esta como un grupo de teoría problema:

él actuó para demostrar que si $H$ es un subgrupo de un grupo de $G$ el subgrupo más grande $S$ $H $ normal en $G$ es la intersección de todos los conjugado de $H$$G$ , que es $S=\cap_{g\in G}gHg^{-1}$.

Probar: pero claramente esta intersección es normal y se incluyen en $H$ que es $\cap_{g\in G}gHg^{-1}\subseteq S$ , $S$ es normal en G y $S$ $ H$ , entonces el conjugado de a $S$ está incluido en todos los el conjugado de a$H$$S\subseteq\cap_{g\in G}gHg^{-1}$, por lo que $S=\cap_{g\in G}gHg^{-1}$.