Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito y sea $\phi: G \rightarrow G$ sea un homomorfismo de grupo. Estoy tratando de demostrar que hay un número entero positivo $n$ tal que $G \cong \ker(\phi^{n}) \times \phi^{n}(G)$ .
Sé que desde $G$ es abeliano tenemos que $\ker(\phi^{k})$ y $\phi^{k}(G)$ son subgrupos normales de $G$ para cualquier $k$
También sospecho que tenemos las siguientes torres que se estabilizan en $m$ y $m'$
$$\phi(G) \unrhd \phi^{2}(G) \unrhd \cdots \unrhd \phi^{m}(G)=\phi^{m+1}(G)=\cdots$$
$$\ker(\phi) \unlhd \ker^{2}(\phi) \unlhd \cdots \unlhd \ker^{m'}(\phi)=\ker^{m'+1}(\phi)=\cdots$$
Sé que si se da un grupo de la forma $HK$ donde $H$ y $K$ son subgrupos normales de $HK$ y $H\cap K=1$ entonces $H \times K \cong HK$ . Quiero aplicar esto a esta situación pero no soy capaz de mostrar cómo escribir $G$ como producto $HK$
Resolución Uno de los comentarios me dirigió al siguiente artículo: http://en.wikipedia.org/wiki/Fitting_lemma La última parte responde a la pregunta. A continuación, lo que dice:
Elija $n=\max(m,m')$ entonces tenemos para $x \in \ker^{n}(\phi) \cap \phi^{n}(x)$ Esto significa que $x=\phi^{n}(y)$ para algunos $y \in G$ . Esto da:
$0=\phi^{n}(x)=\phi^{2n}(y)$ lo que significa que $y \in \ker^{2n}\phi=\ker^{n}{\phi}$ . y luego tenemos que $0=x=\phi^{n}(y)$ .
La respuesta siguiente señala amablemente que cada elemento $x$ está contenido en uno de los cosets de $G/\ker^{n}(\phi)$ Esto significa que $x=k+g$ para algunos $k \in \ker^{n}(\phi)$ y $g \in G$ . También tenemos que $g=\phi^{n}(h)$ para algunos $h \in G$ . Escribir $x=k+\phi^{n}(h)$ muestra esencialmente que $G=\ker(\phi^{n}) + \phi^{n}(G)$ . Utilizando el hecho anterior, se deduce la afirmación.
