Factor $(x+y)^4+x^4+y^4$

Question

El título lo dice todo, sólo quiero saber cómo factor de $(x+y)^4+x^4+y^4$. Sólo sé que es posible factor, pero no tienes idea de cómo hacerlo. Si se tratara de una sola variable polinomio yo podría tratar de encontrar las raíces racionales o algo, pero estoy perdido con esto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(x+y)^4 + x^4 + y^4 = y^4 ((x/y+1)^4 + (x/y)^4 + 1)$$ y a ver si puedes factor de $((t+1)^4 + t^4 + 1$. Hay un factor cuadrático.

Answer 2

Este es un polinomio simétrico en $x$$y$, por lo que puede ser expresado por Newton del teorema, como un polinomio en $s=x+y$$p=xy$.

De hecho,$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=s^2-2p$, de donde $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(s^2-2p)^2-2p^2=s^4-4ps^2+2p^2.$$ Por lo tanto $$(x+y)^4+x^4+y^4=2s^4-4ps^2+2p^2=2(s^2-p)^2=2(x^2+xy+y^2)^2.$$

$x2+xy+y^2$ es irreducible en a $\mathbf R[x]$, pero fractors en $\mathbf C[x]$ $$(x-jy)(x-j^y),\quad\text{where } j\; \text{and }j^2 \;\text{are the non-real cubic roots of unity.}$$

Answer 3

Sé que el uso de complejos de álgebra, podemos factor de $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2 + \sqrt{2}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{2}xy)$. No tengo idea de cómo proceder en adelante... Buena suerte

Answer 4

Más allá de lo que he publicado, no puede tenerse en cuenta en el ámbito real. Si desea factor en el campo complejo, usted tiene que aprender cómo resolver una ecuación de cuarto grado porque básicamente usted necesita saber que las raíces de $(t+1)^4 + t^4 + 1 = 2t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 2 = 0$, puede ser simplificado a $t^4 + 2t^3 + 3t^2 + 2t + 1 = 0$.La suerte, esto es igual a $(t^2 + t + 1)^2$

Por lo tanto $x^4 + y^4 + (x + y)^4 = (x^2 + xy + y^2)^2$. No hay más factorización está disponible en el verdadero campo de...

Los mejores deseos

Answer 5

Lo siento, hay un pequeño error, me olvidé de factoring 2. Por lo tanto $x^4 + y^4 + (x+y)^4 = 2(x^2 + xy + y^2)^2$