Yo estaba un poco sorprendido de que no hay una fórmula general para hallar las raíces de una ecuación de cuarto grado, así que me decidí a prueba de Wikipedia versión de mí mismo. Para mi sorpresa, he llegado a una respuesta correcta, sólo de vez en cerca de cinco intentos, utilizando entero de sólo los coeficientes de factorizable polinomios.
Yo estoy probando la fórmula de la ecuación de $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0$, lo que, obviamente, deben devolver 1, 2, 3, y 4. Sin embargo, mis cálculos contar una historia diferente:
- La expansión de da $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$. Por lo tanto, $a = -10, b = 35, c = -50, d = 24$.
- $u$ es por tanto igual a $\frac{3(-10)^2 - 8(35)}{12} = \frac{300 - 280}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
- $\Delta_0$ $35^2 - 3(-10)(-50) + 12(24) = 1225 - 1500 + 288 = 13$.
- $\Delta_1$ $2(35^3) - 9(-10)(35)(-50) + 27(-10)^2(24) + 27(-50)^2 - 72(35)(24)$ , que funciona a 70.
- El discriminante es $-\frac{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}{27} = -\frac{-3888}{27} = 144$. Porque es positivo, la ecuación tiene cuatro raíces reales o cuatro raíces complejas.
- $Q$ es igual a $\sqrt[3]{\frac{70 + \sqrt{-3888}}{2}} = \sqrt[3]{\frac{70 + 36i\sqrt{3}}{2}} = \sqrt[3]{35 + 18i\sqrt{3}}$.
- $v$ $\frac{\left(\sqrt[3]{35 + 18i\sqrt{3}}\right)^2 + 13}{3\sqrt[3]{35 + 18i\sqrt{3}}}$ . Después de racionalizar el denominador se vuelve $\frac{1 + \sqrt[3]{35 - 18i\sqrt{3}}}{3}$.
- $w$ podría hacer las cosas aún más complicadas, pero afortunadamente su numerador (y, por tanto, valor) es cero.
La colocación de estos valores en una de las últimas expresiones de la fórmula da
$$\frac{1}{4}\left(10 + 2\sqrt{\frac{6 + \sqrt[3]{35 - 18i\sqrt{3}}}{3}} \pm 2\sqrt{\frac{9 - \sqrt[3]{35 - 18i\sqrt{3}}}{3}}\right),$$
un número que no es ni racional ni siquiera totalmente real, y las otras dos raíces son las mismas.
Yo esperaba que el error se auto-evidente, como escribí esta pregunta (que tomó un tiempo, como se puede imaginar) — pero no ha sido así. Entonces, ¿qué está mal con estos cálculos?
