Casi Alternando la secuencia de fórmula general

Question

Sabemos que la típica secuencia alternante tiene el término $$ (-1)^n $$ para representar una secuencia de números que el cambio en el signo de cada término. Del mismo modo, el 'casi alternando la secuencia tiene el término $$ (-1)^{n(n+1)/2} $$ para representar una secuencia de números que cambian de signo para cada dos términos. Me preguntaba si existe una fórmula general para una secuencia que se alterna cada signo $k$ términos. Si no hay una fórmula general, ¿cuál es la fórmula para el "(-1)" plazo para las secuencias que se alternan los signos de todos los $3$ $4$ términos?

Answer 1

Si uno comienza con $n=0$ en lugar de con $n=1$

\begin{equation} (-1)^{\left\lfloor\frac{n}{k} \right\rfloor} \end{equation}

suplentes $k$ positivo seguido por $k$ términos negativos.

Si uno debe comenzar con $n=1$, a continuación, utilizar

\begin{equation} (-1)^{\left\lfloor\frac{n-1}{k} \right\rfloor} \end{equation}

Answer 2

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, #2 \,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$

$$ \begin{array}{rcl} \ds{2\,{1^{n} \over \color{#f00}{1}} - 1 = 1} & \ds{\imp} & \ds{1,1,1,1,\ldots} \\[2mm] \ds{2\,{1^{n} + \pars{-1}^{n} \over \color{#f00}{2}} - 1 = \pars{-1}^{n}} & \ds{\imp} & \ds{1,\color{#f00}{-1},1,\ldots} \\[2mm] \ds{2\,{1^{n} + \pars{\expo{2\pi \ic/3}}^{n} + \pars{\expo{-2\pi \ic/3}}^{n} \over \color{#f00}{3}} - 1 = } & \ds{\imp} & \ds{1,\color{#f00}{-1,-1},1\ldots} \\[2mm] \ds{2\,{1^{n} + \pars{-1}^{n} + \ic^{n} + \pars{-\ic}^{n} \over \color{#f00}{4}} - 1} & \ds{\imp} & \ds{1,\color{#f00}{-1,-1,-1},1,\ldots} \end{array} $$

Ahora, $\color{#f00}{the\ idea}$ es: Tomar la $\ds{\pars{k + 1}}$ raíces de $\ds{z^{k + 1} - 1 = 0}$ 'islas' de $k$ valores de $\pars{-1}$ y jugar con el procedimiento anterior. Esas expresiones son amables siempre que lo reemplace en una serie, etc$\ldots$.