Clase Grupo de $\mathbb Q(\sqrt{-35})$

Question

Como un ejercicio que estoy tratando de calcular el grupo de clase de $\mathbb Q(\sqrt{-35})$.

Tenemos $-35\equiv 1$ mod $4$, por lo que el Minkowski obligado es $\frac{4}{\pi}\frac12 \sqrt{35}<\frac23\cdot 6=4$. Tan solo tenemos que mirar los números primos $2$$3$.

$-35\equiv 5$ mod $8$, lo $2$ es inerte. También, $-35\equiv 1$ mod $3$, lo $3$ divisiones, es decir, $(3)=Q\overline Q$ con $Q=(3,1+\sqrt{-35})$, $\overline Q=(3,1-\sqrt{-35})$. Los ideales $Q,\overline Q$ no son principales, debido a que no hay soluciones a $x^2+35y^2=12$, es decir, no hay elementos de la norma 3.

Ahora sabemos que hay en la mayoría de las $3$ elementos (o ¿no?), es decir,$(1),Q,\overline Q$. Mathematica me dice que el número de clase es $2$, lo $Q$ $\overline Q$ debe estar en la misma clase de equivalencia y $Q^2$ tiene que ser un director ideal. Pero, ¿cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que el anillo de enteros es $\mathbb Z[(1+\sqrt{-35})/2]$.

Si calcular $(3, 1 + \sqrt{-35})^2$, consigue $$(9,3 + 3\sqrt{-35}, -34 + 2 \sqrt{-35} ) = (9, 1 + \sqrt{-35}) = ( \dfrac{1-\sqrt{-35}}{2} \dfrac{1 + \sqrt{-35}}{2}, 2 \dfrac{1+\sqrt{-35}}{2}) = ((1 + \sqrt{-35})/2 )$$ (porque $\dfrac{1-\sqrt{-35}}{2}$ $2$ son coprime, y así generar el ideal $1$).

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Me parece que el cálculo es un poco más fácil por el fraseo de la factorización de $(3)$ en la siguiente alternativa: $(3) = (3, (1 + \sqrt{-35})/2) (3,(1- \sqrt{-35})/2)$, y $$(3,(1+\sqrt{-35})/2)^2 = (9, 3(1+\sqrt{-35})/2,(-17+\sqrt{-35})/2) = ( (1+\sqrt{-35})/2 )$$ que es lo principal.

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Como una comprobación de coherencia, tenga en cuenta que $ (9) = (3) (3) = Q \overline{Q} P \overline{Q} = Q^2 \overline{Q}^2,$ but also $9 = ( (1+\sqrt{-35})/2) ( ( 1 - \sqrt{-35})/2),$ so we must have $Q^2$ equal to one of $( (1 \pm \sqrt{-35})/2).$

Answer 2

Deje $\alpha=\frac{1+\sqrt{-35}}{2}$, entonces de hecho, $(3)=Q\overline{Q}=(3,\alpha)(3,\alpha+2)$. En el grupo de clase, a continuación,, $[Q]+[\overline{Q}]=[\mathcal{O}_K]$, lo $[Q]$ $[\overline{Q}]$ son inversos. Así que el grupo clase se genera por $Q$, y sólo tenemos que mostrar que $Q^2$ es la directora.

El polinomio mínimo de a$\alpha$$f(x)=x^2-x+9$, y recordar que $f(\beta)=\text{Nm}(\beta-\alpha)$. En particular, $f(0)=9=3^2$. El elemento $(\alpha)$ es enviado a $0$ en la evaluación de la $\alpha\mapsto 0$, que corresponde a la ideal $Q$, lo $(\alpha)=Q^2$, y el orden de $[Q]$ divide $2$. Ya has demostrado que $Q$ no puede ser principal, así que hemos terminado.