¿Estudiamos alguna vez las categorías "mixtas"?

Question

Consideremos una categoría cuya clase de objeto incluye la clase de todos los espacios topológicos y la clase de todos los grupos topológicos. Además, dejemos que los conjuntos hom entre dos objetos cualesquiera sean los conjuntos hom habituales en la categoría de espacios topológicos, a menos que ambos objetos sean grupos topológicos, en cuyo caso el conjunto hom entre ellos será el conjunto hom habitual en la categoría de grupos topológicos.

¿Se estudian alguna vez las categorías "mixtas" como ésta?

Answer 1

Lo que has descrito no es una categoría, ya que no es cerrada bajo composición de morfismos (ya que si consideras el grupo $\to$ espacio $\to$ grupo, se permite que las dos flechas sean cualquier mapa continuo, y entonces hay pocas posibilidades de que haya un homomorfismo de grupo compuesto).

Answer 2

Sí:

si las categorías $\Bbb A$ y $\Bbb B$ están contenidos de forma disjunta en una categoría (mayor) $\Bbb H$ como subcategorías completas, y supongamos que $\Bbb H$ no tiene otros objetos, entonces llamo a $\Bbb H$ a puente entre $\Bbb A$ y $\Bbb B$ , ver mi papel .

Como respondió Matt E., su ejemplo particular es no un puente, porque permitimos que ambas direcciones $\Bbb A\not\to\Bbb B$ y $\Bbb B\not\to\Bbb A$ . Sin embargo, si mantenemos una sola dirección, digamos $\Bbb A\not\to\Bbb B\ $ (dejando que los homsets $\hom(b,a):=\emptyset$ ), nosotros hacer obtener una categoría.

Tal dirigido puentes de $\Bbb A$ a $\Bbb B$ corresponden directamente a profunctores es decir, funtores de la forma $\Bbb A^{op}\times\Bbb B\to\Bbb{Set}\ $ (basta con tomar la restricción del functor hom). En el artículo muestro que los puentes son sólo los llamados Contextos de Morita conectando dos profunctores.

Un par de funtores adyacentes $F\dashv G$ determina un solo profunctor (hasta el isomorfismo), a saber $F_*:=\hom(F-,-)$ que es lo mismo que $G_*:=\hom(-,G-)$ .

Este es el caso de un profunctor (como categoría) si $\Bbb A$ es coreflexivo y $\Bbb B$ es una subcategoría reflexiva de la misma.

Los dos profunctores correspondientes a las dos direcciones de tu ejemplo surgen del functor olvido $\Bbb{TopGr}\to\Bbb{Top}$ .