Naturaleza y número de soluciones para $xy=x+y$

Question

Encuentre todas las soluciones a $$xy=x+y$$ Inicialmente la condición dada era $x,y\in \Bbb{Z}$ .

$$$$In this case, I just guessed that the solutions were $ (0,0) $ and $ (2,2) $. As far as I can see, these are the only 2 integral solutions possible. However, i'm quite surprised as usually a Diophantine Equation has infinite solutions. Could somebody please show me how to actually $ resolver $ this equation instead of just guessing the values? Is there any way to $ ¿demuestra$ que sólo hay 2 conjuntos de soluciones?

$$$$Secondly, what if $ x,y\Nen \NBbb{R} $? In that case how could the equation be solved? $$$$ Para estas dos condiciones sobre los valores de $x,y$ ¿hay alguna forma de utilizar la Geometría de Coordenadas para obtener una respuesta? $$$$ ¡Muchas gracias de antemano!

Edición: Se me olvidó mencionar que conozco la solución utilizando la factorización. Esperaba encontrar una solución utilizando la Geometría de Coordenadas. Un amigo me dijo que las soluciones no integrales se encuentran en 2 líneas únicas, y por lo tanto estoy particularmente interesado en una solución geométrica.

Answer 1

Por supuesto, la solución más sencilla es escribir la ecuación como $(x-1)(y-1)=1$ .

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La curva $xy-x-y=0$ es una hipérbola con asíntotas $x=1$ y $y=1$ .

Su gráfica está contenida así en la unión de las franjas

$$ (-\infty,0]\times[0,1), \qquad [0,1)\times(-\infty,0], \qquad (1,2]\times[2,\infty), \qquad [2,\infty)\times(1,2] $$

Los únicos puntos con ambas coordenadas enteras son $(0,0)$ y $(2,2)$ .

De forma más analítica, consideremos la curva escrita como $$ y=1+\frac{1}{x-1}=\frac{-x}{1-x} $$ Si $x>2$ entonces $x-1>1$ Así que $1<y<2$ Así que $y$ no es un número entero. Si $x<0$ entonces $0<y<1$ Así que $y$ no es un número entero. Para $0<x<1$ y $1<x<2$ , $x$ no es un número entero.

Por lo tanto, sólo $x=0$ o $x=2$ seguir siendo.

Answer 2

Puedes decirlo: $x = u+v\\ y = u-v\\$

introdúcelo en tu ecuación y obtendrás:

$u^2 - v^2 = 2u\\ (u-1)^2 - v^2 = 1$

Y deberías reconocerlo como una hipérbola. Y tener una idea de cómo obtener soluciones en términos de $(u,v)$ . Y luego utilizar la sustitución de nuevo para obtener esas soluciones en términos de $(x,y)$ .

¿Qué he hecho? He cambiado el sistema de coordenadas de manera que la línea $y=x$ es mi nuevo " $u-$ eje" y $y = -x$ es mi nuevo " $v-$ eje". Es decir, he girado el sistema 45 grados.

Ahora alguien me va a dar pena (a no ser que sea capaz de disiparla....) El cambio que hice no conserva la distancia. Así que todo está un poco comprimido en el nuevo sistema de coordenadas.

A lo que yo digo, ¿es para tanto?

Si fuera un buen chico, habría dicho:

$u = x \cos \frac\pi4 - y\sin \frac\pi4 \\ v = x \sin \frac\pi4 + y\cos \frac\pi4 $

$x = \frac {\sqrt 2}{2} (u+v)\\ y = \frac {\sqrt 2}{2} (v-u)$

Cambiando mis "u" y mis "v".

$v^2 - u^2 = 2\sqrt 2 v\\ (v- \sqrt 2)^2 - u^2 = 2$

Dando una ecuación muy similar.

Answer 3

Para resolver $x+y=xy$ en números enteros, nótese que implica que $x\mid y$ y $y\mid x$ . Por lo tanto, $y=\pm x$ . ¿Puedes mostrar desde ahí que $(0,0)$ y $(2,2)$ son las únicas soluciones enteras?

Answer 4

Claramente, $a\ne1.$ Resolver para $b$ : $$b={a\over a-1}\tag1$$ Si $a=0.$ entonces (1) da la solución $(a.b)=(0,0).$ En caso contrario, el numerador y el denominador de (1) son coprima, lo que implica que $a=1\pm1,$ dando exactamente una solución más, a saber $(2,2).$

Answer 5

En el caso de que $(x,y) \in \Bbb{Q}$ , ajuste $x=\frac{2}{1-u}$ y $y=\frac{2}{1+u}$ entonces

$x+y=\frac{4}{1-u^{2}}$

$x y=\frac{4}{1-u^{2}}$

y

si $ 0<u<1$ entonces $ (x,y)>(0,0)$ .

Si $u=\frac{1}{2}$ entonces $ (x,y)>(4, 4/3)$ y así sucesivamente