¿Cuál es la diferencia entre la medida exterior y la medida de Lebesgue?

Question

¿Cuál es la diferencia entre la medida exterior y la medida de Lebesgue?

Sabemos que hay conjuntos que no son medibles por Lebesgue, mientras que sabemos que la medida exterior está definida para cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ .

Answer 1

La medida de Lebesgue y la medida exterior de Lebesgue coinciden en conjuntos medibles de Lebesgue, que pueden definirse de varias formas equivalentes. Sea $m$ y $m^*$ denotan la medida de Lebesgue y la medida exterior de Lebesgue respectivamente. Estas son algunas de las posibles definiciones de $A\subset\mathbb{R}^n$ ser medible:

1. Para todos $B\subset\mathbb{R}^n$ $$ m^*(B)=m^*(B\cap A)+m^*(B\setminus A) $$
2. Para todos $\epsilon>0$ existe un conjunto abierto $G$ y un conjunto cerrado $F$ tal que $F\subset A\subset G$ y $m^*(G\setminus F)<\epsilon$ . (Tenga en cuenta que como $G\setminus F$ está abierto, es medible, por lo que $m^*(G\setminus F)=m(G\setminus F)$ .)
3. $A=F\cup N$ , donde $F$ es un $F_\sigma$ (es decir, una unión contable de conjuntos cerrados) y $m(N)=0$ .
4. $A=G\setminus N$ , donde $G$ es un $G_\delta$ (es decir, una intersección intersección de conjuntos abiertos) y $m(N)=0$ .

La razón de la necesidad de dos conceptos diferentes es que ninguno de ellos es "perfecto":

• $m$ es una medida, pero no está definida para todos los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$
• $m^*$ se define para todos los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ pero no es aditivo: aquí existen conjuntos disjuntos $A$ y $B$ tal que $m^*(A\cup B)\ne m^*(A)+m^*(B)$ .

Answer 2

Como complemento a la respuesta de Julián Aguirre, nótese que Lebesgue quería originalmente una medida $m$ para satisfacer ciertas propiedades:

1. $m(S)>0$ para cualquier conjunto $S$
2. $m$ es idéntica a la longitud cuando se consideran intervalos
3. $m$ es invariable por traslación, es decir, si se desliza el conjunto hacia arriba o hacia abajo de la línea real, su medida no debería cambiar
4. $m$ debe ser (contablemente) aditivo.

Ahora bien, Lebesgue introdujo originalmente la medida interna y externa, que eran (respectivamente) estimaciones por debajo y por encima del verdadero "tamaño" de un conjunto, pero éstas no son contablemente aditivas. En lugar de tratar de encontrar una nueva medida que satisfaga las 4 propiedades, se limitó a una colección más pequeña de conjuntos (como en la respuesta de Julián) llamados "conjuntos medibles" para los que la medida exterior hace satisfacen 1-4.

Este fue un movimiento inteligente, ya que resulta que no hay ninguna función no trivial que satisfaga 1-4 para cada subconjunto de $\mathbf{R}$ .

Answer 3

La medida exterior de Lebesgue (m*) es para todo el conjunto E de los números reales, mientras que la medida de Lebesgue (m) es sólo para el conjunto de los conjuntos medibles de los números reales, aunque ambos sean conjuntos fuccionarios.

por Geleta Tadele Mohammed