Para cualquier extensión finita $K\supset\mathbb Q$, no ramificado primer ideal $\mathfrak P\subset O_K$ tal que $O_K/\mathfrak P=\mathbb F_p$ es equivalente a una incrustación $\phi:K\to\mathbb Q_p$ (cuando una incrustación es dada, a continuación,$\mathfrak P=O_K\cap \phi^{-1}(p\mathbb Z_p)$; al $\mathfrak P$ es dada, a continuación, $K_{\mathfrak P}\cong\mathbb Q_p$ y la incrustación es $K\subset K_{\mathfrak P}$).
[Otro primer ideales que contienen a $p$ (ramificado y/o que $O_K/\mathfrak P\cong\mathbb F_{p^f}$$f>1$) son equivalentes a las incrustaciones (con imagen densa) a lo finito extensiones de $\mathbb Q_p$.]
Desde su extensión $K:=\Bbb{Q}(\zeta_q,2^{\frac{1}{q}})\supset\Bbb Q$ es de Galois, un primer $p$ se divide completamente en $K$ fib hay un unramified $\mathfrak P\subset O_K$ tal que $O_K/\mathfrak P=\mathbb F_p$ (como el grupo de Galois actúa transitivamente sobre el primer ideales que contienen a $p$), es decir, si hay una incrustación $K\to\mathbb{Q}_p$ , es decir, iff $\mathbb Q_p$ contiene $q$-th raíces de $1$ $q$-ésima raíz de $2$.
La condición de $p \equiv 1\pmod q$ es equivalente a tener $q$-th raíces de $1$$\mathbb Q_p$, y la solvencia de $X^q=2$ $\mathbb F_p$ es equivalente a, por $p\neq 2,q$, a su solvencia en $\mathbb Q_p$ (tanto por Hensel del lema).
Las dos condiciones juntas son lo que equivale a la existencia de una incrustación $K\to\mathbb Q_p$, y hemos terminado.
