Escribir $1$ como una combinación lineal de polinomios

Question

Este es un problema para la tarea y me vendría bien un poco de ayuda.

Define tres polinomios $$f_1(t, x) = t^2 + x^2 - 2,$$ $$f_2(t, x) = tx - 1,$$ $$f_3(t, x) = t^3 + 5tx^2 + 1.$$ Estoy intentando escribir $1$ como combinación lineal de $f_1, f_2, f_3$ con coeficientes polinomiales para mostrar que $(f_1, f_2, f_3) = \mathbb{C}[x, t]$.

Hasta ahora he reducido las potencias de $x$ y $t$ a $1$ al escribir $$f_3 - tf_1 - 4xf_2 = 4x + 2t + 1,$$ pero no estoy seguro de cómo eliminar $x y$t$ aquí. ¡Cualquier pensamiento sería muy apreciado!

Answer 1

Ninguna persona cuerda haría ese conteo: puedes utilizar fácilmente Nullstellensatz para demostrar que $(f_1, f_2, f_3)=\mathbb{C}[x, t]$.

De todos modos, estoy loco: tenemos $$f_4=x(f_3-tf_1-4xf_2)-2f_2=4x^2+x+2$$ y $$f_5=x^2f_1-(tx+1)f_2=x^4-2x^2+1$$ Por lo tanto, hemos reducido el problema a una variable. $$x^2f_4-4f_5=x^3+10x^2-4$$ $$(4x^2-x)f_4-16f_5=4(x^2f_4-4f_5)-xf_4=39x^2-2x-16$$ $$(-4x^2+x+10)f_4+16f_5=x^2+12x+36$$ $$47f_6=4(-4x^2+x+10)f_4+64f_5-f_4=(-16x^2+4x+39)f_4+64f_5=47x+142$$ $$f_6=x+\frac{142}{47}$$ $$f_4(x)-f_4\left( -\frac{142}{47} \right)=\left(x+\frac{142}{47}\right) \left(4x-4 \frac{142}{47}+1\right)$$ $$1= f_4\left( -\frac{142}{47} \right)^{-1}\left[f_4 -\left(4x-4 \frac{142}{47}+1\right) f_6\right]$$ Ahora, si lo deseas, puedes sustituir las expresiones de $f_4, f_5, f_6$ en términos de $t_1, t_2, t_3$.

Answer 2

Puedes usar $$f_1,f_2,f_3,\\tf_1, txf_1,t^2f_1, \\ xf_2,x^2f_2,t^2f_2, \\ xf_3, \text{ y }\, tf_3.$$

Esto te dará $11$ expresiones de la forma $$g_i(x,y)=l_i(t^2,x^2,tx,t^3,tx^2,x,t,tx^3,xt^3,t^4,t^2x^2,1),$$ donde $l_i$ es una función lineal. En realidad, estas son funciones de $12$ argumentos, pero lo que necesitas es deshacerte de los términos que no son constantes, y hay $11$ de esos. Ahora, escribe los coeficientes de cada $g_i$ (sin considerar el término constante) como una columna, formando una matriz $11\times11$ $A$. Lo que necesitas es resolver el sistema lineal $A\lambda=0$ para encontrar los coeficientes reales $\lambda_i$ que eliminarán todos los términos no constantes.

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Editar.

Si no cometí errores, la matriz es

[ 1  0  0  0  0  0  0 -1  0  0 -2]  
[ 1  0  0  0  0 -1  0  0  0  0  0]  
[ 0  1  0  0  0  0  0  0 -2  0  0]  
[ 0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0]  
[ 0  0  5  1  1  0  0  0  0  0  0]  
[ 0  0  0 -1  0  0  1  0  0  0  0]  
[ 0  0  0  0 -2  0  0  0  0  1  0]  
[ 0  0  0  0  0  1  1  0  1  0  0]  
[ 0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0]  
[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1]  
[ 0  0  0  0  0

Answer 3

Basándose en la respuesta de Giulio Bresciani, una vez que hayas reducido el problema a una variable, simplemente puedes transformar el problema en uno de determinar si las columnas de una matriz son independientes.

Multiplicando las ecuaciones que Giulio dio por $x$ hasta que ambas tengan grado 5 se obtiene:

$$x^4+2x^2+1$$ $$x^5+2x^3+x$$ $$4x^2+x+2$$ $$4x^3+x^2+2x$$ $$4x^4+x^3+2x^2$$ $$4x^5+x^4+2x^3$$

Queremos alguna combinación lineal de estas ecuaciones para que lo único que quede sea un coeficiente constante de 1, por lo que queremos una combinación de estas de tal manera que todos los coeficientes de las variables sumen 0. Debes tener en cuenta que hay 5 variables aquí: $x,x^2,x^3,x^4,x^5$, pero 6 ecuaciones. Si lo escribes como una matriz, no es difícil usar algo como Matlab para encontrar una columna de la matriz en términos de las demás. Esto te da exactamente los coeficientes necesarios para sumar todas estas ecuaciones y eliminar las variables.

Dado que solo hay 6 ecuaciones, es poco probable que las constantes también sean eliminadas en esta suma, por lo que simplemente puedes dividir entre la constante que resulte para que la suma sea igual a 1.