Pregunta de Mathcounts de la competencia

Question

El menor entero positivo que es divisible por $2, 3 ,4,$ $5,$ y también es un cuadrado perfecto, perfecto cubo, $4^{th}$, e $5^{th}$ de potencia, se puede escribir en la forma $a^b$ para enteros positivos $a$$b$. ¿Cuál es el mínimo valor posible de $a+b$?

La respuesta es $90$.

Incluso completamente trampa con un equipo que no puede empezar a averiguar cómo hacer esto. Podría alguien caminar a través de mí como yo no he estado en una clase de matemáticas por un largo tiempo?

Tal vez no entiendo el problema, o tal vez de punto flotante, el infierno es el bloqueo de mis intentos de engañar, pero incluso cuando la búsqueda de todas las posibles $a+b=90$ $a^b$ ninguno de los que son perfectos poderes de $5$.

Answer 1

Vamos a llamar a $a^b = x$. ¿Cuáles son los factores primos de a $x$? Usted sabe que debe ser divisible por $2$, $3$, $4$ y $5$, por lo que es de la forma $x = 2^p 3^q 5^r$. Todos los 3 de los exponentes $p,q,r,$ debe ser divisible por $2, 3, 4$$5$, y el entero más pequeño que satisface esta es $60$. Por lo tanto: $$x = 2^{60}3^{60}5^{60} = (2\cdot 3 \cdot 5)^{60} = 30^{60}.$$

Esto realmente se cumple que $a+b= 90$. Ahora, ¿por qué $30^{60}$ no ser escrito como $c^d$$c+d < a+b$?

Answer 2

No estoy seguro de si este es el origen de la confusión, sino un "5to poder" es algo de la forma $n^5$, no $5^n$ ("potencia de 5").