El cálculo de $\int_0^1 \frac{\log (x) \log \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\right)}{x} \, dx$

Question

¿Cómo te gustaría calcular esto? ¿Ve usted una rápida y ordenada camino aquí? Ideas?

$$\int_0^1 \frac{\log (x) \log \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\right)}{x} \, dx$$

Compartir soluciones, sólo es opcional.

La forma cerrada de revelado es

$$\frac{1}{4} \left(\frac{2 }{3}\log ^3(2)-\zeta(2) \log (2)+\zeta (3)\right).$$

Answer 1

Queremos calcular: $$ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin\theta)\log\left(\cos^2\frac{\theta}{2}\right)\cot(\theta)\,d\theta \tag{1}$$ y por integración por partes, el problema se reduce a calcular: $$ J = \int_{0}^{\pi/2}\log^2(\sin\theta)\tan\frac{\theta}{2}\,d\theta =2\int_{0}^{1}\log^2\left(\frac{t}{1+t^2}\right)\frac{t\,dt}{1+t^2}.\tag{2}$$ Por otro lado, tenemos a: $$ \int_{0}^{1}\frac{t\log^2(t)}{1+t^2}\,dt=\frac{3\zeta(3)}{16},\qquad \int_{0}^{1}\frac{t\log^2(1+t^2)}{1+t^2}\,dt=\frac{\log^3(2)}{6},\tag{3}$$ donde la primera integral puede ser calculada a través de la diferenciación bajo el signo integral, mediante la explotación de la función beta de Euler, mientras que la segunda integral es elemental. De la misma manera, se obtiene: $$ \int_{0}^{1}\frac{t\log(t)\log(1+t^2)}{1+t^2}\,dt = -\frac{\zeta(3)}{32} \tag{4}$$ por lo que es sencillo para calcular los $(2)$,$(1)$.

Answer 2

Aquí es una solución alternativa. \begin{align} \int^1_0\frac{\ln{x}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{2}\right)}{x}\ {\rm d}x &=\frac{1}{4}\int^1_0\frac{\ln{x}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x}}{2}\right)}{x}\ {\rm d}x\tag1\\ &=\frac{1}{4}\int^1_0\frac{\ln(1-x)}{1-x}\ln\left(\frac{1+\sqrt{x}}{2}\right)\ {\rm d}x\tag2\\ &=\frac{1}{16}\int^1_0\frac{\ln^2(1-x)}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\ {\rm d}x\tag3\\ &=-\frac{1}{96}\int^1_0x^{-3/2}\ln^3(1-x)\ {\rm d}x\tag4\\ &=\frac{1}{48}\lim_{q\to 1}\frac{\partial^3}{\partial q^3}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(q\right)}{\Gamma\left(q-\frac{1}{2}\right)}\tag5 \end{align}

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Explicación:

$(1)$: Sustituido $x\mapsto\sqrt{x}$.
$(2)$: Sustituido $x\mapsto 1-x$.
$(3)$: Integrado por partes.
$(4)$: Integrado por partes.
$(5)$: Se utiliza la representación integral de la función Beta.

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El uso de Wolfram Alpha (o la diferenciación con la mano),

Establecimiento $q=1$ nos da el resultado requerido. $$\int^1_0\frac{\ln{x}\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{2}\right)}{x}\ {\rm d}x=\frac{\zeta(3)}{4}-\frac{\pi^2}{24}\ln{2}+\frac{\ln^3{2}}{6}$$