52 votos

¿Es 128 el poder sólo varios dígito de 2 tal que cada uno de sus dígitos es también una potencia de 2?

El número 128 $$ puede ser escrito como 2 $^ $ n entero $n $, y su cada dígito individual. ¿Este es el único número con esta propiedad, aparte de los números one-digit $1$, $ $2, $ $4 y $8$?

He comprobado mucho, pero no sé cómo probar o refutarla.

51voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Esto parece ser una pregunta abierta. Ver secuencia de OEIS A130693 y las referencias allí.

6voto

Hyperflame Puntos 31

He aquí algunas evidencias empíricas (no es una prueba de ello!).

Aquí están las primeras potencias que aumentar la longitud de 1-2-4-8 se ejecuta en los dígitos menos significativos (últimos dígitos):

Alimentación 0: 1 dígitos. ...0:1
Alimentación 7: 3 dígitos. ...0:128
El poder de las 18: 4 dígitos. ...6:2144
El poder de las 19: 5 dígitos. ...5:24288
El poder de los 90: 6 dígitos. ...9:124224
Poder 91: 7 dígitos. ...9:8248448
Potencia de 271: de 8 dígitos. ...0:41422848
El poder de 1751: de 9 dígitos. ...3:242421248
Poder 18807: 10 dígitos. ...9:8228144128
Poder 56589: 14 dígitos. ...3:21142244442112
Poder 899791: de 16 dígitos. ...9:8112118821224448
Poder 2814790: 17 dígitos. ...6:42441488812212224
Poder 7635171: 19 dígitos. ...5:2288212218148814848
Poder 39727671: de 20 dígitos. ...6:48844421142411214848
Poder 99530619: 21 dígitos. ...6:142118882828812812288
Poder 233093807: 25 dígitos: ...0:2821144412811214484144128
Poder 22587288091 : 26 dígitos: ...9:81282288882824141181288448

Fácil de ver, esta longitud crece veeeery lento: $25$ dígitos de $233093807*log_{10}2 \aprox 70168227$ dígitos decimales son potencias de 2. Apenas 25 puede llegar a 70168227.

Echemos un vistazo más profundo. Considere la posibilidad de $2^k$ tener $$ n dígitos decimales (obviamente $n \le k$). Digamos $2^k \mod 5^n = a$. A continuación, el CRT podemos recuperar $2^k \mod 10^n$ (tenga en cuenta que $2^k \equiv 0 \pmod {2^n}$):

$$f(a) \equiv 2^k \equiv \cdot 2^n \cdot (2^{-n})_{\mod 5^n} \pmod{10^n}$$

Ahora supongamos que $2^k$ al azar va más de $\mod 5^n$. ¿Cuántos son los elementos que $x \in (0,\dots,5^n-1)$ tal que $f(x) \mod 10^n$ se compone de dígitos 1-2-4-8? Hay en la mayoría de los $4^n$ tales valores (todas las combinaciones posibles de 1-2-4-8 $$ n veces), a partir de $5^n$ (observación - debemos considerar sólo coprime con 5 números, hay $5^{n-1}*4$). Así que si $2^k$ actúa al azar, entonces la probabilidad de obtener 1-2-4-8 valor está limitado por $(4/5)^{n-1}$, lo que disminuye exponencialmente con $n$ (e $k$).

Ahora ¿cuánto potencias de 2 por cada $n$? Cantidad constante, 3 o 4! Así, si por algún pequeño $n$ no hay ningún tipo de valores, entonces muy probablemente para todos los números también es cierto.

Nota: esto puede parecer lioso, casi la misma explicación podría estar dada modulo de $10^n$. Pero en mi opinión es más fácil creer que $2^k$ al azar va más de $\mod 5^n$ de $\mod 10^n$. EDIT: También, $2$ es una raíz primitiva módulo $5^n$ para $n$, por lo que, de hecho, va por encima de todos los $5^{n-1}*4$ representaban valores.

Comentario 2: la cantidad exacta de $x$, tal que $f(x) \mod 10^n$ constan de dígitos 1-2-4-8, a partir de experimentos:

...
n=15: 54411 / 30517578125 ~= 2^-19.0973107004
n=16: 108655 / 152587890625 ~= 2^-20.4214544789
n=17: 216803 / 762939453125 ~= 2^-21.7467524186
n=18: 433285 / 3814697265625 ~= 2^-23.0697489411
n=19: 866677 / 19073486328125 ~= 2^-24.3914989097
n=20: 1731421 / 95367431640625 ~= 2^-25.7150367656
...

UPD:

El hecho de que $2$ es una raíz primitiva módulo $5^n$ es bastante importante.

  1. Lo podemos usar para optimizar la búsqueda de las primeras potencias de 2 que aumentan la 1-2-4-8 de largo plazo (primeros datos en este post). Por ejemplo, para $n=3$ sólo $13$ de $5^2*4=100$ los valores corresponden a 1-2-4-8 de 3 dígitos finales. Por $\mod 1000$, período de potencias de 2 es igual al orden del grupo, es decir, $100$. Significa que tenemos que comprobar sólo 13 de cada 100 valores. Me las arreglé para la construcción de la tabla para $n=20$ que acelera el cálculo de aproximadamente $2^{25}$. Tristemente cada uno de los siguientes $$ n de la tabla es mucho más difícil de calcular, por lo que este enfoque no se escala de manera eficiente.

  2. Para arbitrario $n$ podemos muy eficientemente encontrar unos $k$ que $2^k$ ha $n$ dígitos-de potencias de dos.
    Supongamos que para algunos $$ n, sabemos que tales $k_0$. Considerar $a = 2^{k_0} \mod 10^n$. Queremos construir $k'$ para $n+1$. Echemos un vistazo a $a \mod 2^{n+1}$. Es $0$ o $2^{n}$. Si es $0$, podemos establecer $(n+1)$'s dígito de cualquier de $0,2,4,6,8$, en particular $2,4,8$ se ajuste a nuestro objetivo. Si es de $2^{n}$, entonces tenemos que poner $(n+1)$'s dígito de cualquier de $1,3,5,7,9$, en particular $1$ va a estar bien para nosotros.
    Después de configurar el nuevo dígito tenemos algún valor $' < 10^{n+1}$. Ahora nos encontramos con $k'$ mediante el cálculo del logaritmo discreto de $a'$ base $2$ en el grupo $(\mathbb{Z}/5^{n+1}\mathbb{Z})^*$. Debe existir, porque $2$ es raíz primitiva módulo $5^{n+1}$ y $a'$ no es divisible por cinco (lo que significa que se cae en el grupo multiplicativo).

Resumiendo, es posible extender los existentes 1-2-4-8 cola con $1$, o con alguna de $2,4,8$. Por ejemplo, la cola de longitud 1000, que consta sólo de 1 y 2:

sage: k
615518781133550927510466866560333743905276469414384071264775976996005261582333424319169262744569107203933909361398767112744041716987032548389396865721149211989700277761744700088281526981978660685104481509534097152083798849174934153949598921020219299137483196605381824600377210207048355959118105502326334547495384673753323864726827644650703466356156319492521379682428275201262134907960967634887658195264018797348236155773958687977059474419550906257366056229915615067527218040720408353328787880060032847746927391316869927283585312014157952623949696812057481086276896651244409107902992111507870787820359137244857060839675634572294938878098506151681269336043213294287160464665102314138635395739226878089
sage: print pow(2, k, 10**1000)
1112221212111222212111211212211112121221111221112211221212222212222111211212111122221111222222211112222211112122111222122222212222111221111112211122121122221212111122212112211122121121212211211221122111111111111121211111211212222212112121222221221122111222221222222122212221212111121111112111211222111111211222222222112222212112211212121122212122222211111121112122122112112122222212121121222221112121221222221121122221121222121112111121221221212211121221122121122122122112112112111222212111111221121211211122222122211122211211222122122211112121121111211222211211212211112111212121212111222221212221211212222121122221211112222211221121221211211221222211112121221222122112122221221221221221222211122222222222222222222111121122221121121212111222211112122112112222112221212111112121221221121211221111121212111111121212222212211222122122212112211221221112222121221212121121112111222221122221221121111212121211211211221121211211121122122211212221112122111122212112212121112121121122111112111211111212122112

1voto

phil_20686 Puntos 59

Cada número es de la forma de una suma de f(n,m) = 2^n*10^m, donde m es un número entero y n es 0,1,2,3. Usted puede profundizar en este problema escribiendo este problema en binario. Cada potencia de dos es un 1 seguido de ceros, por lo que el 1, 10, 100, 1000, es 1,2,4,8 etc. Así que la multiplicación de un binario por 2 agrega un cero a la derecha. Así que veamos potencias de diez:

1 1010 1100100 1111101000 10011100010000

El punto clave a tener en cuenta es que ellos son seguidos por más y más ceros a la derecha. Supongamos que esto es cierto. Me sabe su verdadero hasta 10^22 o así, ya que su utiliza en los algoritmos para hacer rápido aritmética de punto flotante, ver, por ejemplo, aquí: http://www.exploringbinary.com/why-powers-of-ten-up-to-10-to-the-22-are-exact-as-doubles/ .

EDITAR - Esto es obviamente cierto, ya que cada potencia de diez es una potencia de dos, ya que 10 = 2*5. Por lo tanto jamás potencia de 10^n debe tener exactamente n ceros a la derecha. (Puesto que los poderes de 5 son impares deben terminar en uno).

Me puede agregar hasta tres ceros (multiplicar por 8), pero no puedo excluir cualquier potencia de diez. Así que tengo a la suma de estos. Claramente tengo que eliminar todos los 1. Así que para convertir 100 a la siguiente potencia de dos que tomar 1100100 y claramente necesario agregar 0011100 es decir, rellene todos los ceros con 1 y poner un final en hacer que ellos llevan como fichas de dominó. Esto es parecido a una potencia de diez, trabajar de lo que usted agregue a hacer que el número de nueves seguida de ceros, a continuación, añadir una a la que nunca columna tiene el último dígito distinto de cero.

así que puedo hacer 11100 cabo de diez y de uno? sí, 10*2 = 10100 y 1*8 = 1000. Así que el 128 es un poder perfecto.

Echemos un vistazo a la eliminación de los 1s en las dos últimas columnas. Claramente todos los números de 100 o más no así que no importa, así que puedo tener 12. También puedo tener 48. Así que cualquier número debe terminar en 12, 28, 48. El próximo trate de eliminar todos los 1's en las últimas tres columnas. 128 = 10000 va a hacer el trabajo. Así se 112 y 248, pero eso es todo*. Permite seguir el 112 de la cadena. Que nos dará 2112 4112 8112 con 5 ceros a la derecha.

Si nos movemos a seis ceros a la derecha tenemos 22112 42114 82112 14112 y 18112*. Hay, alrededor de 1000 números con seis ceros a la derecha debajo de 10000. Así que si no hay ninguna estructura profunda, así que podemos ver que esta forma es muy restrictiva en términos de los conjuntos que se puede generar.

Es incluso concebible que una búsqueda exhaustiva a lo largo de estas líneas se llevan a todas las ramas de la terminación - es decir, que no se podía eliminar por último una más. En el caso de que usted hubiera demostrado la declaración.

*Me ofrecen ninguna garantía de que mi inspección exhaustiva!

1voto

Ningún valor inferior a 2 ^ 30, 000 mayor que 128 sigue este patrón, como he encontrado a través de esta herramienta:

http://www.michalpaszkiewicz.co.uk/Maths/series/Powers-of-Two.html

Puede utilizar esta herramienta para tratar de encontrar un valor, pero probablemente sería más fácil demostrar que ningún tal número existe con teoría del número.

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