Definición de $\mathbb{Z}[\omega]$ donde $\omega$ es una raíz primitiva de la unidad

Question

¿Qué hace $\mathbb{Z}[\omega]$ suelen significar cuando $\omega$ ¿es una raíz primitiva de la unidad?

Answer 1

Cuando $\omega$ es cualquier elemento algebraico de $\mathbb{C}$ que satisface un polinomio mónico con coeficientes integrales, $\mathbb{Z}[\omega]$ denota el anillo $\{a_0+a_1\omega+\ldots+a_{n-1}\omega^{n-1}: a_i\in \mathbb{Z}, n=\text{deg }\omega\}$ donde el grado de $\omega$ es el grado del polinomio mínimo de $\omega$ en $\mathbb{Q}$ . Cuando $\omega$ es una primitiva $n$ -raíz de la unidad, este anillo resulta ser el anillo de enteros del campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\mu_n)$ pero para la algebraica general $\omega$ , $\mathbb{Z}[\omega]$ es un subring de índice finito propio del anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\omega]$ .

Answer 2

$\mathbb{Z}[\omega]$ es el anillo generado por $\mathbb{Z}$ y $\omega$ (dentro, digamos $\mathbb{C}$ ). Se puede pensar en esto como un anillo cuyos elementos son polinomios en $\omega$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$ . Desde, $\omega^n=1$ para el correspondiente $n$ sólo hay que considerar los polinomios de grado inferior a $n$ . A continuación, la suma y la multiplicación habituales de los polinomios dan la estructura del anillo.