Compare $e^2$ $7$ sin uso de la calculadora

Question

Cuál es más grande? $e^2$ o $7$? Algún truco? No saben cómo acercarse a ese tipo de cosas.

Answer 1

Aquí está una insinuación: $e^x=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\dots$

Esta es una rápida serie convergente, entonces usted debería ser capaz de superar un límite como $7$ con algunos términos, o ver que va a ser menos, y el uso de una comparación (por ejemplo, con una progresión geométrica) para demostrar que sigue siendo menos.

Intente $x=2$ por tamaño (bastante fácil de hacer a mano, sin una calculadora).

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Para el cálculo, ya que otros han puesto el suyo:

$$1+2+\frac 42+\frac 86+\frac {16}{24}=7$$ y hay otros términos positivos.

Answer 2

Si usted sabe que $e > 2.7$,$e^2 > 2.7^2 = \dfrac{27^2}{10^2} = \dfrac{729}{100} = 7.29 > 7$.

Answer 3

$$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\gt \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}=\frac 83>2.66\Rightarrow e^2\gt (2.66)^2=7.0756\gt 7$$

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Como Marca Bennet señaló, la siguiente es mucho más fácil :

$$e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\gt \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}=\frac 83\Rightarrow e^2\gt \left(\frac 83\right)^2=\frac{64}{9}\gt 7$$

Answer 4

Si uno recuerda que el $e>\frac{19}{7}$ (a partir de la continuación de la fracción de la representación de $e$), a continuación, es sencillo comprobar que: $$ \color{red}{e^2} \color{purple}{>} \frac{361}{49} = \color{red}{7}+\frac{18}{49},$$ es decir, uno sólo tiene que comprobar que el $19^2>7^3$.

Answer 5

He aquí una alternativa. Trate de comparar las $2$ y $\ln(7)$. $\ln(x)$ tiene una forma más natural, interpretación geométrica como el área bajo $y=\frac{1}{x}$, en comparación con $e^x$, por lo que algunos de geometría se puede aprovechar de nosotros.

Desde $\ln(7)=\int_1^7\frac{1}{x}\,dx$, consideramos que la aproximación de la integral con un trapecio, regla de estilo de la suma de Riemann. Los trapecios más cerca de $1$ va a hacer un trabajo peor ya que la concavidad es más alta, por lo que queremos que estos trapecios para tener una base más estrecha. El uso de una progresión lineal de anchura en la base significa que necesita para cortar las $[1,7]$ a $T_n$ piezas de igual tamaño, donde $T_n$ es un número triangular. El uso de $T_n=15$ (y, por tanto, $5$ trapecios con bases $\frac{2}{5}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{6}{5}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{10}{5}$) nos da:

Y podemos ver/calcular el $$\ln(7)<\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}\left(1+\frac{5}{7}\right)+\frac{4}{5}\left(\frac{5}{7}+\frac{5}{11}\right)+\frac{6}{5}\left(\frac{5}{11}+\frac{5}{17}\right)+\frac{8}{5}\left(\frac{5}{17}+\frac{1}{5}\right)+\frac{10}{5}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)\right)$$ $$\ln(7)<\frac{65376}{32725}<2$$

Por lo $7<e^2$.