Demostrar que $\frac{dy}{dx}+\sec^2(\frac{\pi}{4}-x)=0$

Question

Si $y=\sqrt{\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}}$, demuestran que, a $\frac{dy}{dx}+\sec^2(\frac{\pi}{4}-x)=0$

Mis intentos:

Intento 1:

$y=\sqrt{\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}}$

$\implies y=\sqrt{\frac{\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x \cos x}{\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x \cos x}}$

$\implies y=\sqrt{\frac{(\sin x -\cos x)^2}{(\sin x+\cos x)^2}}$

$\implies y=\frac{\sin x -\cos x}{\sin x +\cos x}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{(\sin x +\cos x)(\cos x+\sin x)-(\sin x -\cos x)(\cos x -\sin x)}{(\sin x +\cos x)^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{(\sin x+\cos x)^2+(\sin x -\cos x)^2}{(\sin x+\cos x)^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{2(\sin^2 x+\cos^2 x)}{(\cos(\frac{\pi}{2}-x)+\cos x)^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{2}{(2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4}-x))^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{2}{4\cos^2(\frac{\pi}{4})\cos^2(\frac{\pi}{4}-x)}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{2}{4\times\frac{1}{2}\cos^2(\frac{\pi}{4}-x)}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\sec^2(\frac{\pi}{4}-x)$

$\implies \frac{dy}{dx}-\sec^2(\frac{\pi}{4}-x)=0$

Pero tengo que probarlo $\frac{dy}{dx}+\sec^2(\frac{\pi}{4}-x)=0$

Intento 2:

$y=\sqrt{\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}}$

$\implies y=\sqrt{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x-2\cos x \sin x}{\cos^2 x+\sin^2 x+2\cos x \sin x}}$

$\implies y=\sqrt{\frac{(\cos x -\sin x)^2}{(\cos x+\sin x)^2}}$

$\implies y=\frac{\cos x -\sin x}{\cos x +\sin x}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{(\cos x +\sin x)(-\sin x-\cos x)-(\cos x -\sin x)(-\sin x +\cos x)}{(\cos x +\sin x)^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-(\cos x+\sin x)^2+(\cos x -\sin x)^2}{(\cos x+\sin x)^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{(\cos x -\sin x)^2-(\cos x+\sin x)^2}{(\cos x+\sin x)^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-4\sin x\cos x}{(\cos x+\cos(\frac{\pi}{2}-x))^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-4\sin x\cos x}{(2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(x-\frac{\pi}{4}))^2}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-4\sin x\cos x}{4\cos^2(\frac{\pi}{4})\cos^2(x-\frac{\pi}{4})}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-4\sin x\cos x}{4\times \frac{1}{2}\cos^2(x-\frac{\pi}{4})}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-2\sin x\cos x}{\cos^2(x-\frac{\pi}{4})}$

Intento 3:

$y=\sqrt{\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}}$

$\implies y=\sqrt{\frac{(1-\sin 2x)(1-\sin 2x)}{(1+\sin 2x)(1-\sin 2x)}}$

$\implies y=\frac{1-\sin 2x}{\cos 2x}$

$\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{\cos 2x(-2\cos 2x)-(1-\sin 2x)(-2\sin 2x)}{\cos^2 2x}$

$\implies \frac{dy}{dx}=\frac{-2\cos^2 2x+2\sin 2x(1-\sin 2x)}{\cos^2 2x}$

Mis preguntas:

(i) ¿por Qué Intento 2 dar un resultado diferente de lo que se da por Intento 1.

(ii) ¿Cómo puedo probar el resultado?

Answer 1

La declaración de que usted está tratando de demostrar que no es cierto para todos los $x$. Si fue así, siempre tuviéramos $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\leqslant0$ y, por tanto, $y$ estaría disminuyendo. Pero está aumentando en $\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right]$, por ejemplo.

La declaración sostiene en $\left(-\frac\pi4,\frac\pi4\right]$. El tuyo primer intento de la prueba, siempre que corregir este error: lo que usted deduce de la igualdad$$y=\sqrt{\frac{(\sin x-\cos x)^2}{(\sin x+\cos x)^2}}$$is that$$y=\frac{-\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x},$$since $y$ is a square root and therefore $s\geqslant0$.

Answer 2

"¿Por qué no Intento 2 dar un resultado diferente de la dada por 1 Intento."

Tu error está en que la conclusión de $\sqrt{a^2}=a$. De hecho, una vez Que a la conclusión de que $\sqrt{a^2}=a$ y otro momento en que $\sqrt{(-a)^2}=-a$ aunque $\sqrt{a^2}$ $\sqrt{(-a)^2}$ son los mismos. Correcto sería $\sqrt{a^2}=\pm a$, por lo que dos valores.

"(ii) ¿Cómo puedo probar el resultado?"

Usted no necesita hacer cualquier transformación de la especie, puede directamete diferenciar la expresión dada.

Answer 3

De hecho, el resultado que usted desea no es cierto: depende de los valores de $x$.

Habiendo dicho esto, con una pequeña modificación, cualquiera de sus métodos de trabajo. Voy a utilizar su tercer método. Tenga en cuenta que usted tiene $$y=\sqrt{\frac{(1-\sin2x)^2}{\cos^22x}}\ ;$$ esto le da $$y=\left|\frac{1-\sin2x}{\cos2x}\right|\ ,$$ y la omisión de los valores absolutos es su principal problema.

En primer lugar, supongamos que el $-\pi/4<x<\pi/4$. A continuación,$1-\sin2x>0$$\cos2x>0$; así $$y=\frac{1-\sin2x}{\cos2x}\ .$$ Su diferenciación es correcta, y puede continuar $$\eqalign{\frac{dy}{dx} &=\frac{-2\cos^2 2x+2\sen 2x(1-\sen 2x)}{\cos^2 2x}\cr &=\frac{2\sin2x-2}{\cos^22x}\cr Y=-2\,\frac{1-\sin2x}{1-\sin^22x}\cr y=-\frac2{1+\sin2x}\cr y=-\frac2{1+\cos(\frac\pi2-2x)}\cr y=-\frac1{\cos^2(\frac\pi4-x)}\cr y=-\s^2\Bigl(\frac\pi4-x\Bigr)\cr}$$ que es lo que quieres.

Si, sin embargo $\pi/4<x<3\pi/4$,$1-\sin2x>0$$\cos2x<0$; así $$y=-\frac{1-\sin2x}{\cos2x}$$ y exactamente el mismo trabajo le dará $$\frac{dy}{dx}=\sec^2\Bigl(\frac\pi4-x\Bigr)\ .$$