Encontrar un límite utilizando la regla de L'Hospital

Question

Encontrar el límite de $$\lim_{x\to\infty} (e^x+x)^{4/x}.$$ Utilice la regla de L'Hospital de si es apropiado. Si hay un más elementales método, considere el uso de la misma.

Answer 1

Sugerencia: Para una más elementales método, sugiero que Apretar. Tenga en cuenta que para los positivos $x$ hemos $$e^x\lt e^x+x\lt 2e^x$$

Answer 2

$$\lim_{x\to\infty} (e^x +x)^{4/x}=\exp{\lim_{x\to\infty} \frac{4\ln(e^x +x)}{x}}$$

Answer 3

Usted podría tomar registros, por ejemplo, que denota su límite por $\ell$ hemos

$$\log\ell = \lim_{x\to\infty}\frac{4\log(e^x+x)}{x}.$$

Usando la regla de L'Hospital esta da

$$\log\ell = \lim_{x\to\infty}\frac{4 \left(e^x+1\right)}{x+e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{4 \left(e^x+x\right)}{x+e^x}+\frac{4 \left(1-x\right)}{x+e^x}.$$ But this is just $$4+\lim_{x\to\infty}\frac{4 \left(1-x\right)}{x+e^x}=4.$$

Por lo tanto, $$\ell = e^4.$$

Answer 4

Vamos a:

$$y = \lim_{x\to\infty} (e^x+x)^{4/x}$$

A continuación,

$$\ln y = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x}\ln(e^x+x)$$

Sustitución directa de los rendimientos de $\frac{\infty}{\infty}$. El uso de L'Hosptial la Regla:

$$\ln y = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x}\ln(e^x+x) = \frac{\frac{4(e^x+1)}{e^x+x}}{1} = \frac{4(e^x+1)}{e^x+x} = \frac{4e^x}{e^x+1} = \frac{4e^x}{e^x} = 4$$

Por eso, $\ln y = 4$, e $y = e^4$

Tenga en cuenta que varios dervatives fueron tomadas desde la sustitución directa produjo $\frac{\infty}{\infty}$