¿Cuál es el resto de $(2012^{2013}+2013^{2012}):(2012\times 2013)$?

Question

¿Cuál es el resto si la suma $$(2012^{2013}+2013^{2012})$$ se divide por $$2012\times 2013$$

Answer 1

Divide el problema en dos partes y resuelve $$ 2012^{2013} + 2013^{2012} \bmod 2013 \equiv 2012^{2013} \bmod 2013 $$ y $$ 2012^{2013} + 2013^{2012} \bmod 2012 \equiv 2013^{2012} \bmod 2012 $$ Ahora utiliza el teorema de Euler: gcd($a,n$) = $1$, entonces $$a^{\phi(n)} \equiv 1 \bmod n $$ para calcular cada una de las ecuaciones. Luego usa el teorema chino del resto para calcular la solución $\mod 2013\times 2012$. Nota que gcd($2012,2013$) = $1$.

Answer 2

No necesitamos el Teorema de Euler Totient

Como $a+1 \equiv 1 \pmod a,$ $$N=a^{a+1} + (a+1)^a \equiv (a+1)^a \pmod a \equiv 1^a \equiv a$$ $\implies N = 1 + a \cdot A$ para algún entero $A$

De manera similar, como $a \equiv -1 \pmod{a+1},$ $$N=a^{a+1} + (a+1)^a \equiv a^{a+1} \pmod{a+1} \equiv (-1)^{a+1} \equiv \begin{cases} 1 & \text{ si } a \text{ es impar} \\ -1 & \text{ si } a \text{ es par} \end{cases}$$

Si $a$ es impar, $N \equiv 1 \pmod {a+1} \implies N = 1 + (a+1)B$ para algún entero $B$

Entonces, $1 + a \cdot A = N = 1 + (a+1)B \implies \frac{(a+1)B}{a} = A$ que es un entero

$\implies a$ divide a $(a+1)B$

$\implies a$ divide a $B$ ya que $(a+1,a) = 1$

Entonces, $B = a \cdot C$ donde $C$ es algún entero

Luego, $N = 1 + (a+1)B = 1 + (a+1) \cdot a \cdot C \equiv 1 \pmod{a(a+1)}$

Si $a$ es par, $1 + a \cdot A = N = -1 + (a+1)B \implies (a+1)B - a \cdot A = 2 = 2(a+1-a)$

$\implies \frac{a(A-2)}{a+1} = B-2$ que es un entero

$\implies (a+1)$ divide a $a(A-2)$

$\implies (a+1)$ divide a $(A-2)$ ya que $(a,a+1) = 1$

Entonces, $A = 2 + (a+1)D$ para algún entero $D$

Entonces, $N = 1 + a \cdot A = 1 + a \{2 + (a+1)D\} = 2a + 1 \pmod{a(a+1)}$

Aquí $a = 2012$ que es par, entonces el resto será $2a + 1 = 2 \cdot 2012 + 1 = 4025$

Answer 3

$\rm Nota,\ por\ CRT,\ \ x \equiv \color{#C00}a\:\ (mod\ n\!-\!1),\:\ x\equiv \color{#0A0}b\:\ (mod\ n)\!\iff\! x\equiv \color{#C00}a\,n + \color{#0A0}b\,(1\!-\!n)\:\ (mod\ n(n\!-\!1))\!\!\!\!\!\!$

$\rm x = (n\!-\!1)^n\! + n^{n-1}\! \equiv \color{#C00}1\:\ (mod\ n\!-\!1),\:\ x \equiv \color{#0A0}{(-1)^{n}}\: (mod\ n),\ $ por lo tanto aplicando lo anterior obtenemos

$$\begin{eqnarray}\rm mod\ n(n\!-\!1)\!:\ \ (n\!-\!1)^n\!+n^{n-1}\! &\equiv\,&\rm \color{#C00}1\cdot n + \color{#0A0}{(-1)^{n}}(1\!-\!n)\\ &\equiv\,&\rm 2n\!-\!1\ \ si \ \ n\ \ es\ \ impar\\ &\equiv\,&\rm 1\qquad\ \: si\ \ n\ \ es\ \ par\end{eqnarray}$$

Su caso especial es $\rm\,n = 2013,\,$ entonces $\rm\, 2012^{2013}\!+2013^{2012}\!\equiv2\cdot 2013\!-\!1\:\ (mod\ 2013\cdot 2012)$

Nota $ $ El cálculo del Teorema Chino del Resto (CRT) es fácil ya que un módulo es $\equiv 1$ modulo el otro, lo que hace trivial la inversión en la fórmula del CRT Fácil. Alternativamente, el cálculo directo nos da $\rm\:mod\ n\!-\!1\!:\ \color{#c00}a \equiv x\equiv \color{#0a0}b\!+\!nk\equiv b\!+\!k\:\Rightarrow\:k\equiv a\!-\!b\:\Rightarrow\:x = b\!+\!n(a\!-\!b\!+\!j(n\!-\!1))$ $\rm\equiv na\!+\!(1\!-\!n)b\:$ $\rm\ (mod\ n(n\!-\!1))$.