Cómo probar una identidad en los radicales?

Question

(4 / (3 - sqrt(5))) ^ 2 - ((6 - 5 * sqrt(6)) / (5 - sqrt(6))) ^ 2 = 2 * sqrt(61 + 24*sqrt(5))

$$\left(\frac{4}{3-\sqrt{5}}\right)^2 - \left(\frac{6 - 5 \sqrt{6}}{5 - \sqrt{6}}\right)^2 = 2\sqrt{61+24\sqrt{5}}$$

How to prove it is right equality?

I come up with $\dfrac{16}{14-6\sqrt{5}}-6=2\sqrt{61+24\sqrt{5}}$, pero todavía no puede conseguir que la obvia la igualdad.

Alguna idea?

Answer 1

Simplificar ambos lados a $8+6\sqrt{5}$, ya que ambos son iguales a este.

Sólo la plaza de la RHS a ver esto y racionalizar los denominadores en el lado izquierdo.

Después de la racionalización de denominadores en el lado izquierdo (que es muy rápido) obtenemos $(3+\sqrt{5})^2-6,$ y por lo tanto el $8+6\sqrt{5}.$

Answer 2

Desde

$$\dfrac{4^{2}}{\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}}-\dfrac{\left( 6-5\sqrt{6}% \right) ^{2}}{\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}}=\dfrac{4^{2}\left( 5-\sqrt{6}% \right) ^{2}-\left( 6-5\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}}{% \left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}}$$

y

$$\dfrac{1}{\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}}=\dfrac{% \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5+\sqrt{6}\right) ^{2}}{5776},$$

para probar

$$\left( \dfrac{4}{3-\sqrt{5}}\right) ^{2}-\dfrac{\left( 6-5\sqrt{6}\right) ^{2}}{\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}}=2\sqrt{61+24\sqrt{5}}\quad (1)$$

es suficiente para demostrar que

$\left( 16\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}-\left( 6-5\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}\right) \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5+\sqrt{6}% \right) ^{2}$

$=11552\sqrt{61+24\sqrt{5}}$.

Pero (ver anexo)

$$\left( 16\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}-\left( 6-5\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}\right) \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5+\sqrt{6}% \right) ^{2}=3656\sqrt{5}+américa 46208.$$

Queda por demostrar

$$\left( 34656\sqrt{5}+américa 46208\right) ^{2}=11552^{2}\a la izquierda( 61+24\sqrt{5}% \right) \quad (2).$$

El lado izquierdo es

$$\left( 3656\sqrt{5}+46208\right) ^{2}=3202768896\sqrt{5}+8140370944$$

y el lado derecho es igual a:

$$11552^{2}\left( 61+24\sqrt{5}\right) =3202768896\sqrt{5}+8140370944,$$

lo que demuestra su igualdad.

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Addendum:

$$\left( 16\left( 5-\sqrt{6}\right) ^{2}-\left( 6-5\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}\right) \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5+\sqrt{6}\right) ^{2}$$

$$=16\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5+\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 5-\sqrt{% 6}\right) ^{2}-\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( 5+\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 6-5\sqrt{6}\right) ^{2}\left( 3-\sqrt{5}\right) ^{2}$$

$$=5776\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}-34656=34656\sqrt{5}+46208$$

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Apéndice 2: La segunda igualdad establecido en la pregunta

$$\dfrac{16}{14-6\sqrt{5}}-6=2\sqrt{61+24\sqrt{5}}\quad (3)$$

es equivalente a

$$\dfrac{8}{14-6\sqrt{5}}-3=\sqrt{61+24\sqrt{5}}=\sqrt{61+\sqrt{2880}}.$$

La LHS, puede ser transformado en

$$\dfrac{8}{14-6\sqrt{5}}-3=\dfrac{18\sqrt{5}-34}{14-6\sqrt{5}}$$

$$=\dfrac{18\sqrt{5}-34}{14-6\sqrt{5}}\times \dfrac{14+6\sqrt{5}}{14+6\sqrt{5}% }=\dfrac{64+48\sqrt{5}}{16}=4+3\sqrt{5}.$$

Entonces tenemos que probar

$$\sqrt{61+\sqrt{2880}}=4+3\sqrt{5}.\quad (4)$$

Ahora que se aplican a la LHS la siguiente transformación general relacionadas con radicales:

$$\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}}+\sqrt{\dfrac {- \sqrt{% A^{2}-B}}{2}}$$

Si $A=61,B=2880$, $\sqrt{A^{2}-B}=\sqrt{61^{2}-2880}=29$ y

$$\sqrt{\dfrac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}}=3\sqrt{5},$$

$$\sqrt{\dfrac{A-\sqrt{A^{2}-B}}{2}}=4,$$

lo que completa la prueba.

Answer 3

Se especializan $\rm\ \ \ b=3,\ \ c = 5,\ \ d = 6 \ \Rightarrow\ a = 4\ \ $ en este simple derivación:

$\rm\quad\quad\quad\quad\displaystyle \bigg(\frac{b^2-c}{b-\sqrt{c}}\bigg)^2 - \bigg(\frac{d -5\sqrt{d}}{5-\sqrt d}\bigg)^2$

$\rm\quad\quad =\quad \:(\: b \ \: + \: \sqrt{c}\ )^{\:2} \ \ \:-\ \ \ (\:-\:\sqrt{d}\:)^{2} $

$\rm\quad\quad =\ \ 2\ (\:a + b \sqrt{c}\ )\:, \quad 2\ a\ =\ b^2+c-d $

$\rm\quad\quad =\ \ 2\:\sqrt{a^2+b^2\:c+2\:a\:b\sqrt{c} } $

NOTA $\:$ Colocación de los números de funciones hace que la prueba más simple y más general - similares a los de su recientemente pregunta

Answer 4

Trivial. Permite simplificar la parte izquierda: multiplicar la primera fracción de la suma de las expresiones en su denominador, y obtener toda la parte en la segunda fracción y hacer con la segunda fracción del mismo que hicimos con la primera:

$(\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5})^2 - (\frac{25-19 - \sqrt{6}}{5-\sqrt{6}}) = (3+\sqrt{5})^2 - (5-\frac{19(5+\sqrt{6})}{25-6})^2 = (3+\sqrt{5})^2 - 6 = 8 + 6\sqrt{5}$

Ahora vamos a probar esto:

$8+6\sqrt{5}=2\sqrt{61+24\sqrt{5}}$

dividir por dos y de la plaza:

$4+3\sqrt{5} = \sqrt{61+24\sqrt{5}}$

$16+45+24\sqrt{5}=61+24\sqrt{5}$

Eso es todo.