Resuelve la ecuación $3^{\log_4(x)+\frac{1}{2}}+3^{\log_4(x)-\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

Question

Resolver $3^{\log_4(x)+\frac{1}{2}}+3^{\log_4(x)-\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ .

Puedo reducir el LHS a $\sqrt{x}=3^{\log_4(x)} \cdot \dfrac{4}{3}$ . La cuadratura de ambos lados no parece conducir a un resultado. ¿Sabe usted cómo proceder?

Answer 1

$$ 3^{log_4x+\frac{1}{2}}+3^{log_4x-\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\\ (3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}}) 3^{log_4x}=\sqrt{x}\\ $$ Escriba $3 = 4^{\log_4 3}$ : $$ (3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}}) 4^{\log_4 (3) \cdot log_4x}=\sqrt{x}\\ $$ Lleva el registro a base 4: $$ \log_4(3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}}) +\log_4 (3) \cdot \log_4x=\frac12 \log_4 x\\ $$ Así que $$ \log_4(x) = \frac{\log_4(3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})}{\frac12 -\log_4 (3) } $$ y $$ x = 4^{\frac{\log_4(3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})}{\frac12 -\log_4 (3) }} $$ o, simplificando aún más, $$ x = 4^{\frac{2\log_4(3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})}{1-2\log_4 (3) }}\\ = 4^{\frac{\log_4((3^{\frac{1}{2}}+3^{-\frac{1}{2}})^2)}{1-2\log_4 (3) }} = 4^{\frac{\log_4(3 + 2 + \frac13)}{1-2\log_4 (3) }} \\ = 4^{\frac{\log_4(\frac{16}{3})}{1-2\log_4 (3) }} =(\frac{16}{3})^ {\frac{1}{1-2\log_4 (3) }} $$

También puedes escribirlo con el botón $\exp$ o encontrar alguna otra forma conveniente de expresarlo.

Answer 2

Fácil paso a paso

$$\begin{align} 3^{\log_4x+\frac{1}{2}}+3^{\log_4x-\frac{1}{2}}&=\sqrt{x} \\ \sqrt{3}\cdot 3^{\log_4x} + (\sqrt 3)^{-1} \cdot 3^{\log_4x}&=\sqrt x \\ 3 \cdot 3^{\log_4x}+3^{\log_4x}&=\sqrt{3x} \\ 4\cdot3^{\log_4x}&=\sqrt{3x} \\ 3^{\log_4x}&=\frac{\sqrt{3x}}{4} \\ 4^{(\log_4 3) \cdot (\log_4 x)} &=\frac{\sqrt{3x}}{4} \\ (\color{red}{4^{\log_4 x}})^{\log_4 3} &= \frac{\sqrt{3x}}{4} \quad \text{a logarithm in an exponent is an inverse operation}\\ x^{\log_4 3}&=\frac{\sqrt 3}{4} \cdot \sqrt{x} \\ x^{2\log_4 3}&=\frac{3}{16} \cdot x \\ &\color{red}{x \neq 0} \quad \text{by the original equation} \\ x^{2\log_4 3 -1}&=\frac{3}{16} \\ x&=\left(\frac{3}{16}\right)^{\frac{1}{{2\log_4 3 -1}}} \approx 0.0571725372071 \end{align}$$

La calculadora gráfica Desmos en línea

Answer 3

Utilizar la fórmula de cambio de base:

$$\log_4 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 4}$$

Puede entonces obtener (con $p = \frac{1}{\log_3 4}$ )

$$\sqrt{x} = 3^{\frac{1}{2}} (3^{\log_3 x})^p + 3^{-\frac{1}{2}} (3^{\log_3 x})^p = 3^{\frac{1}{2}} x^p + 3^{-\frac{1}{2}} x^{p} = x^p (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})$$

Así que la ecuación a resolver se convierte (con $a = (\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})$ )

$$\sqrt{x} = a x^p$$

Así que $x = 0$ es una solución obvia (que se comprueba en la ecuación original, ya que $\lim_{x \to 0} \log_b x = -\infty$ y $3^{-\infty}=0$ ). Por lo demás,

$$ax^{p-\frac{1}{2}} = 1$$

por lo que sólo hay que resolverlo con nuestros valores constantes para $a$ y $p$ . Hay una solución real (además de $0$ ), I piense en no hay soluciones complejas ya que se trata de exponentes irracionales. (Hace tiempo que no hago este tipo de cosas, así que no estoy seguro).

Answer 4

Tenemos $$ \begin{eqnarray} \sqrt{x} &=& 3^{\color{blue}{\log_4(x)} \color{brown}{+ \frac{1}{2}}} + 3^{\color{blue}{\log_4(x)} \color{brown}{- \frac{1}{2}}} \\ &=& \left( \color{brown}{3^{\frac{1}{2}}} + \color{brown}{3^{-\frac{1}{2}}} \right) \cdot \color{blue}{3^{\log_4(x)}} \tag{factoring out $3^{\log_4(x)}$} \\ &=& \left( \color{brown}{3^{\frac{1}{2}}} + \color{brown}{3^{-\frac{1}{2}}} \right) \cdot \color{blue}{x^{\log_4(3)}} \tag{using $a^{\log_b(c)} = c^{\log_b(a)}$} \\ &=& \left( \color{brown}{\sqrt{3}} + \color{brown}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \right) \cdot \color{blue}{x^{\log_4(3)}} \tag{using $a^\frac{1}{2} = \sqrt{a}$} \end{eqnarray} $$ Si elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos $$ x = \left( \color{brown}{\sqrt{3}} + \color{brown}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \right)^2 \cdot \color{blue}{x}^{2\color{blue}{\log_4(3)}} = \dfrac{16}{3} \cdot x^{\log_4(9)} \;. $$ Desde $x \neq 0$ se nos permite dividir por $x^{\log_4(9)}$ . Si hacemos esto, obtenemos $$ \dfrac{16}{3} = x^{1 - \log_4(9)} = x^{\log_4\left( \frac{4}{9} \right)} \;. $$ Ahora, elevamos ambos lados a la potencia de $\log_{\frac{4}{9}}(4)$ y, utilizando la identidad $\log_{4}\left( \frac{4}{9} \right) \cdot \log_{\frac{4}{9}}(4) = 1$ , obtenga $$ x = \left( \dfrac{16}{3} \right)^{\log_{\frac{4}{9}}(4)} \approx 0.0572 \;. $$