¿Qué $\Big(\frac{(x+1)^2}{2}\Big)^n-\Big(\frac{(x-1)^2}{2}\Big)^n$ igual?

Question

Determinar el grado más alto de término del polinomio $$\Bigg(\frac{(x+1)^2}{2}\Bigg)^n-\Bigg(\frac{(x-1)^2}{2}\Bigg)^n, \quad n\in\mathbb{N}$$

La respuesta sugiere que el término del grado más alto es igual a $\dfrac{2nx^{2n-1}}{2^n} + \dfrac{2nx^{2n-1}}{2^n} = \dfrac{4n}{2^n}x^{2n-1}$ Pero no sé cómo llegar allí. Creo que es:

$\begin{split}\Bigg(\dfrac{(x+1)^2}{2}\Bigg)^n-\Bigg(\dfrac{(x-1)^2}{2}\Bigg)^n &= \Bigg(\dfrac{(x+1)^2}{2}-\dfrac{(x-1)^2}{2}\Bigg)\Bigg(\Big(\frac{(x+1)^2}{2}\Big)^{n-1}+\ldots +\Big(\frac{(x-1)^2}{2}\Big)^{n-1}\Bigg) \\ &=2x\Bigg(\Big(\frac{(x+1)^2}{2}\Big)^{n-1}+\ldots +\Big(\frac{(x-1)^2}{2}\Big)^{n-1}\Bigg)\end{split}$

Answer 1

Usted puede encontrar el más alto grado plazo en $(x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}$, luego se dividen por $2^n$. Ahora aplique el teorema del binomio: \begin{align} (x+1)^{2n}&=x^{2n}+2nx^{2n-1}+\text{lower degree terms}\\[4px] (x-1)^{2n}&=x^{2n}-2nx^{2n-1}+\text{lower degree terms} \end{align} Restando obtenemos $$ (x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}=4nx^{2n-1}+\text{menor grado} $$ Por lo que el plazo requerido es $$ \frac{4n}{2^n}x^{2n-1} $$

Answer 2

Basta con aplicar el teorema del binomio. $$\begin{eqnarray*}F_n(x)=\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)^n-\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^n &=& \frac{1}{2^n}\left[(x+1)^{2n}-(x-1)^{2n}\right]\\&=&\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^{2n-k}(1^k-(-1)^k) \end{eqnarray*}$$ por lo tanto el líder plazo es $\frac{2\binom{2n}{1}}{2^n}\cdot x^{2n-1}$. Usted también puede notar que: $$ F_{n+2}(x) = (1+x^2)F_{n+1}(x)-\frac{1}{4}(x^2-1)^2 F_n(x),$$ por lo tanto, si usted demostrar que el grado de $F_n(x)$$2n-1$, el coeficiente inicial $L_n$ cumple con la recursividad: $$ L_{n+2} = L_{n+1} - \frac{1}{4}L_n $$ por lo tanto $L_n = \frac{A+Bn}{2^n}$.