Derivando el área de un sector de una elipse.

Question

Un sector $P_1OP_2$ de una elipse está dado por los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$.

¿Podrías por favor explicarme cómo puedo encontrar el área de un sector de una elipse?

Answer 1

Escala toda la figura a lo largo de la dirección $y$ por un factor de $a/b$. La elipse se convierte en un círculo de radio $a$, y los dos ángulos se convierten en $\tan^{-1}(\frac ab\tan\theta_1)$ y $\tan^{-1}(\frac ab\tan \theta_2)$. El área del sector elíptico original es $b/a$ veces el área del sector circular entre estos dos ángulos, lo cual es fácil de encontrar.

Answer 2

Como muestro en Evaluar $\int_a^b \frac12 r^2\ \mathrm d\theta$ para encontrar el área de una elipse el área de una elipse dada su ángulo central es:

$A(\theta) = \frac{1}{2} a b \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\theta )}{b}\right)$

para $0\leq\theta\leq2\pi$, entonces el área del sector en cuestión es:

$A\left(\theta _2\right) - A\left(\theta _1\right)$

o:

$\frac{1}{2} a b \left(\tan ^{-1}\left(\frac{a \tan \left(\theta _2\right)}{b}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{a \tan \left(\theta _1\right)}{b}\right)\right)$

lo cual lamentablemente no parece simplificarse más.

Answer 3

Usando coordenadas elípticas polares:$$x=a\rho cos(\theta)$$ $$y=b \rho sin(\theta)$$ la parte del plano encerrada por la elipse es $$\{(\rho,\theta):0\le \rho \le 1,\theta\in(0,2\pi)\}$$ el Jacobiano de la transformación inversa es: $$J=\begin{bmatrix}a cos(\theta) & -a \rho sin(\theta) \\ b sin(\theta) & b \rho cos(\theta)\end{bmatrix}$$ así que el área de un sector es: $$\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta \int_0^1 d\rho a b\rho$$

Porque la integral en $d\rho$ es $\frac{1}{2}ab$ el resultado es $$\frac{1}{2}ab(\theta_2-\theta_1)$$