Tu castigo por concederme la insignia de "Buena pregunta" por mi última pregunta es que voy a publicar otro de Pruebas sin palabras .
¿Cómo demuestra la figura adjunta el teorema de Pitágoras? 
P.D. No, no voy a recorrer todo el libro página por página pidiendo ayuda. P.P.D. No, no soy un agente del libro. Sólo un estudiante de matemáticas curioso.
Creo que el diagrama debería incluir líneas que conecten los tres puntos del círculo grande en un triángulo. Entonces (creo) se supone que se sabe que un triángulo inscrito que tiene un diámetro como uno de sus lados es recto, y que una altitud hacia la hipotenusa divide un triángulo rectángulo en dos triángulos similares. La proporción $\frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a}$ entonces proviene de estos dos triángulos similares. La multiplicación cruzada con los denominadores produce $c^2-a^2=b^2$ .
De la geometría de nivel elemental sabemos que un ángulo inscrito cuyos extremos son un diámetro es de 90 grados (porque es la mitad del ángulo central correspondiente). Y también sabemos que una línea perpendicular desde el ángulo recto a la hipotenusa crea dos triángulos semejantes (los dos triángulos tienen un ángulo recto y comparten un ángulo con el triángulo grande).
Creo que a la imagen le faltan dos líneas más: las que unen todos los puntos del círculo. Una vez dibujados estos segmentos, vemos dos importantes triángulos rectángulos: uno tiene lados $c+a$ , $b$ y la hipotenusa; el otro tiene lados $c-a$ y $b$ y la hipotenusa. Un rápido recuento de los ángulos muestra que estos dos triángulos son similares, por lo que obtenemos la proporción escrita a la izquierda: $$ \frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a}. $$ Y el teorema se deduce de este cociente por "multiplicación cruzada".
Cuando has dicho "todos los puntos del círculo", no sabía a qué te referías. Pensé que te referías a todos los puntos que están en el círculo, no a todos los puntos en los que las líneas dibujadas se cruzan con el círculo. ¡D'oh! :D. Tengo que pensar cómo sabemos que esos dos triángulos son similares.
No está tan claro por qué $\angle BAE = 90 ^\circ$ pero podemos utilizar varias relaciones para ello. $\angle ABC = \angle BAC$ , $\angle CAE = \angle ACE$ , $\angle BCA + \angle ACD = 180 ^\circ$ , $\angle CAD + \angle ACD = 90 ^\circ$ y $\angle DAE + \angle AED = 90 ^\circ$
Es el teorema de Tales: si A, B y C son puntos distintos de una circunferencia en la que la línea AC es un diámetro, entonces el ángulo ABC es un ángulo recto. ( es.wikipedia.org/wiki/Thales%27s_theorem ) pero gracias por tu aclaración. Creo que acabas de demostrar este teorema
Buscando el teorema de Thale parece que se puede hacer más fácilmente y proporciona otra bonita imagen: upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/
Se puede obtener el primer enunciado por varios métodos: uno es el uso de triángulos semejantes (conectar los extremos del diámetro con el otro punto: esta es la Proposición 8 del Libro VI de Euclides que utilizó para demostrar el teorema de Pitágoras en VI.31)
Otra es que para dos cuerdas que se cruzan en un círculo el producto de las dos partes de una cuerda es igual al producto de las dos partes de la otra (extender la semicuerda vertical: es la Proposición 35 del Libro III de Euclides y utiliza el teorema de Pitágoras en I.47 para demostrarlo).
La primera afirmación implica $c^2-a^2=b^2$ y entonces todo lo que necesitas es un ligero reordenamiento.
Aunque se tenga una población, la cuestión central es si es realmente la población sobre la que se desea hacer afirmaciones (al menos las relativas a los efectos/diferencias de la población). Si no lo es, en muchos casos se puede tratar como una muestra. Si es realmente la población objetivo, no hay necesidad de realizar una inferencia estadística, sólo hay que describir las diferencias.
A menudo, por ejemplo, resulta que el deseo es decir algo que podría ser relevante en un futuro próximo, o para orientar la política, lo que sugiere una población nocional (y quizás no realizable físicamente) algo diferente de la observada. En ese caso hay puede podría ser una razón para continuar con la inferencia estadística.
En la regresión ordinaria no se supone que la variable dependiente en sí sea normal, sino que lo es la distribución condicional. Incluso cuando los supuestos son razonables, las distribuciones marginales bimodales/multimodales son comunes cuando hay dos o más grupos con medias diferentes.
Debe comprobar su hipótesis de normalidad examinando los residuos, no la respuesta bruta.
Has hablado de medianas, pero te preocupa que las medianas estén cerca aunque las distribuciones difieran en general. Podrías considerar regresión cuantílica para un conjunto representativo de cuantiles.
Dicotomizar su respuesta no se considera generalmente una buena idea. Sin embargo, las interacciones (ya sean categóricas $\times$ categórico, categórico $\times$ continua o continua $\times$ continua) funcionan de forma muy parecida en la regresión logística que en la regresión ordinaria; su efecto sobre el predictor lineal, en particular, se entiende casi de la misma manera].
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Esta es probablemente la prueba más hermosa de Pitágoras que he visto. Tengo que conseguir ese libro.
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Así que aprendí que en SE se acostumbra a dar la marca de verificación a la primera de dos respuestas similares. Pero me han gustado todas las respuestas aquí. Gracias a todos.
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El hecho de que los puntos extremos de un diámetro subtiendan $90^{\circ}$ realmente más elemental que el propio teorema de Pitágoras?