Mostrar Sylow $p$ -son abelianos si $n_p=2p+1$

Question

Una vieja pregunta cualitativa sobre Sylow $p$ -grupos:

Supongamos que $p$ es un primo impar y $G$ es un grupo simple finito con exactamente $2p+1$ Sylow $p$ -grupos. Demostrar que el Sylow $p$ -grupos de $G$ son abelianas.

No sé qué técnica aplicar para demostrar que estos grupos son abelianos. Sé que el $2p+1$ Sylow $p$ -subgrupos son conjugados, pero esto es una afirmación sobre los conjuntos enteros y no sobre sus elementos individuales y cómo interactúan entre sí. Para cualquier Sylow $p$ -subgrupo $P$ tenemos $\vert G/P\vert $ = $\vert G\vert / p$ .

Ni siquiera estoy seguro de que el teorema de Sylow sea necesario, puesto que ya se nos da que $n_p=2p+1$ . ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Pista: mira el normalizador de un Sylow $p$ -subgrupo. El índice de este subgrupo es $2p+1$ . Entonces $G$ puede ser incrustado en $A_{2p+1}$ . Demostrar que $p^2$ es la mayor potencia de $p$ dividiendo $(2p+1)!/2$ . Utilice el hecho de que todo grupo de orden $p^2$ es abeliana.

Answer 2

Dejemos que $A$ sea el conjunto de $2p+1$ Sylow $p$ -subgrupos en $G$ . Dejemos que $G$ actuar $A$ a través de la conjugación. Consideremos la representación de la permutación $\phi:G\to S_A \le S_{2p+1}$ . El núcleo de $\phi$ es trivial ya que $G$ es simple. Por lo tanto, $G$ se incrusta en $S_{2p+1}$ . Por lo tanto, las órdenes de los elementos de $A$ son como máximo $p^2$ . Dado que los grupos de orden $p,p^2$ son abelianos, cada elemento de $A$ es abeliana.